Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Questionlim⁡x→−1x3+x2+x+1x+1\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}

Studdy Solution

STEP 1

1. نحن نبحث عن النهاية التالية: lim⁡x→−1x3+x2+x+1x+1\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}.
2. يمكن أن تكون الدالة غير معرفة عند x=−1x = -1 بسبب القسمة على صفر.

STEP 2

1. تحقق من إمكانية تبسيط الكسر.
2. استخدم القسمة التركيبية أو التحليل لإعادة كتابة الكسر.
3. حساب النهاية بعد التبسيط.

STEP 3

تحقق من إمكانية تبسيط الكسر عن طريق تحليل البسط:
نلاحظ أن البسط x3+x2+x+1x^3 + x^2 + x + 1 يمكن تحليله باستخدام القسمة التركيبية أو باستخدام التحليل الجبري.

STEP 4

نقوم بتحليل البسط باستخدام القسمة التركيبية:
نقسم x3+x2+x+1x^3 + x^2 + x + 1 على x+1x + 1.

STEP 5

نقوم بالقسمة التركيبية:
1. نضع معاملات البسط: 1,1,1,11, 1, 1, 1.
2. نستخدم الجذر −1-1 للقسمة التركيبية.
العملية:
- نكتب المعامل الأول 11. - نضرب −1-1 في 11 ونضيف إلى المعامل التالي 11 لنحصل على 00. - نضرب −1-1 في 00 ونضيف إلى المعامل التالي 11 لنحصل على 11. - نضرب −1-1 في 11 ونضيف إلى المعامل التالي 11 لنحصل على 00.
الباقي هو 00 مما يعني أن x+1x + 1 هو عامل.

STEP 6

بعد القسمة التركيبية، نحصل على:
x3+x2+x+1=(x+1)(x2+0x+1) x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 0x + 1)

STEP 7

نقوم بتبسيط الكسر:
x3+x2+x+1x+1=(x+1)(x2+1)x+1 \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1)(x^2 + 1)}{x + 1}
نلغي العامل المشترك x+1x + 1:
=x2+1 = x^2 + 1

STEP 8

الآن نحسب النهاية:
lim⁡x→−1(x2+1) \lim _{x \rightarrow-1} (x^2 + 1)
عند التعويض المباشر:
(−1)2+1=1+1=2 (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
قيمة النهاية هي:
2 \boxed{2}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord