Math / Calculus

Questionfonksiyon için $\delta$ , sadece $\epsilon$ sayısına bağlıdır yani $x=t$ den bağımsız olmaktadır. 3.11 Örnek $f:(0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun sürekli ancak düzgün sürekli olmadığım gösteriniz.

Studdy Solution

STEP 1

Bu ne soruyor? $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonunun $(0, 1]$ aralığında sürekli olduğunu, ancak düzgün sürekli olmadığını göstermemiz gerekiyor. Dikkat! Süreklilik ve düzgün süreklilik arasındaki farkı anlamak çok önemli!
Süreklilik her nokta için ayrı ayrı incelenirken, düzgün süreklilikte tüm aralık için aynı $\delta$ değeri geçerli olmalıdır.

STEP 2

1. Sürekliliği Göster
2. Düzgün Sürekli Olmadığını Göster

STEP 3

Herhangi bir $x_0 \in (0, 1]$ alalım.
Amacımız, verilen herhangi bir $\epsilon > 0$ için, $|x - x_0| < \delta$ olduğunda $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ olacak şekilde bir $\delta > 0$ bulmak.

STEP 4

$|f(x) - f(x_0)| = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right| = \left| \frac{x_0 - x}{x x_0} \right| = \frac{|x - x_0|}{|x| |x_0|}$ olduğunu biliyoruz.

STEP 5

Şimdi, $|x - x_0| < \frac{x_0}{2}$ olduğunu varsayalım.
Bu, $-\frac{x_0}{2} < x - x_0 < \frac{x_0}{2}$ anlamına gelir ve buradan $\frac{x_0}{2} < x < \frac{3x_0}{2}$ elde ederiz.
Böylece, $|x| > \frac{x_0}{2}$ olur.

STEP 6

Şimdi, $|f(x) - f(x_0)| = \frac{|x - x_0|}{|x| |x_0|} < \frac{|x - x_0|}{\frac{x_0}{2} \cdot x_0} = \frac{2}{x_0^2} |x - x_0|$ eşitsizliğini elde ederiz.

STEP 7

$\frac{2}{x_0^2} |x - x_0| < \epsilon$ olmasını istiyoruz.
Bunu sağlamak için $|x - x_0| < \frac{x_0^2 \epsilon}{2}$ seçebiliriz.

STEP 8

Sonuç olarak, $\delta = \min\left(\frac{x_0}{2}, \frac{x_0^2 \epsilon}{2}\right)$ seçersek, $|x - x_0| < \delta$ olduğunda $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ olur.
Bu da $f(x)$ 'in $x_0$ 'da sürekli olduğunu gösterir. $x_0$ keyfi olduğundan, $f(x)$ , $(0, 1]$ aralığında süreklidir.

STEP 9

Düzgün sürekliliğin olmadığını göstermek için, bir $\epsilon > 0$ seçeceğiz ve her $\delta > 0$ için, $|x - t| < \delta$ olmasına rağmen $|f(x) - f(t)| \ge \epsilon$ olacak şekilde $x, t \in (0, 1]$ bulacağız.

STEP 10

$\epsilon = 1$ seçelim.
Herhangi bir $\delta > 0$ için, $x = \min(1, \delta)$ ve $t = \frac{x}{2}$ olsun.
Böylece, $|x - t| = \frac{x}{2} \le \frac{\delta}{2} < \delta$ olur.

STEP 11

Ancak, $|f(x) - f(t)| = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{t} \right| = \left| \frac{1}{x} - \frac{2}{x} \right| = \frac{1}{x} \ge 1 = \epsilon$ olur.

STEP 12

Bu, $f(x)$ 'in $(0, 1]$ aralığında düzgün sürekli olmadığını gösterir.

STEP 13

$f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu $(0, 1]$ aralığında süreklidir, ancak düzgün sürekli değildir.

Was this helpful?

Questionfonksiyon için $\delta$ , sadece $\epsilon$ sayısına bağlıdır yani $x=t$ den bağımsız olmaktadır. 3.11 Örnek $f:(0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun sürekli ancak düzgün sürekli olmadığım gösteriniz.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Sürekliliği Göster
2. Düzgün Sürekli Olmadığını Göster

STEP 3

Herhangi bir $x_0 \in (0, 1]$ alalım.
Amacımız, verilen herhangi bir $\epsilon > 0$ için, $|x - x_0| < \delta$ olduğunda $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ olacak şekilde bir $\delta > 0$ bulmak.

STEP 4

$|f(x) - f(x_0)| = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right| = \left| \frac{x_0 - x}{x x_0} \right| = \frac{|x - x_0|}{|x| |x_0|}$ olduğunu biliyoruz.

STEP 5

Şimdi, $|x - x_0| < \frac{x_0}{2}$ olduğunu varsayalım.
Bu, $-\frac{x_0}{2} < x - x_0 < \frac{x_0}{2}$ anlamına gelir ve buradan $\frac{x_0}{2} < x < \frac{3x_0}{2}$ elde ederiz.
Böylece, $|x| > \frac{x_0}{2}$ olur.

STEP 6

Şimdi, $|f(x) - f(x_0)| = \frac{|x - x_0|}{|x| |x_0|} < \frac{|x - x_0|}{\frac{x_0}{2} \cdot x_0} = \frac{2}{x_0^2} |x - x_0|$ eşitsizliğini elde ederiz.

STEP 7

$\frac{2}{x_0^2} |x - x_0| < \epsilon$ olmasını istiyoruz.
Bunu sağlamak için $|x - x_0| < \frac{x_0^2 \epsilon}{2}$ seçebiliriz.

STEP 8

Sonuç olarak, $\delta = \min\left(\frac{x_0}{2}, \frac{x_0^2 \epsilon}{2}\right)$ seçersek, $|x - x_0| < \delta$ olduğunda $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ olur.
Bu da $f(x)$ 'in $x_0$ 'da sürekli olduğunu gösterir. $x_0$ keyfi olduğundan, $f(x)$ , $(0, 1]$ aralığında süreklidir.

STEP 9

Düzgün sürekliliğin olmadığını göstermek için, bir $\epsilon > 0$ seçeceğiz ve her $\delta > 0$ için, $|x - t| < \delta$ olmasına rağmen $|f(x) - f(t)| \ge \epsilon$ olacak şekilde $x, t \in (0, 1]$ bulacağız.

STEP 10

$\epsilon = 1$ seçelim.
Herhangi bir $\delta > 0$ için, $x = \min(1, \delta)$ ve $t = \frac{x}{2}$ olsun.
Böylece, $|x - t| = \frac{x}{2} \le \frac{\delta}{2} < \delta$ olur.

STEP 11

Ancak, $|f(x) - f(t)| = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{t} \right| = \left| \frac{1}{x} - \frac{2}{x} \right| = \frac{1}{x} \ge 1 = \epsilon$ olur.

STEP 12

Bu, $f(x)$ 'in $(0, 1]$ aralığında düzgün sürekli olmadığını gösterir.

STEP 13

$f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu $(0, 1]$ aralığında süreklidir, ancak düzgün sürekli değildir.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Sürekliliği Göster2. Düzgün Sürekli Olmadığını Göster

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

2x02∣x−x0∣<ϵ\frac{2}{x_0^2} |x - x_0| < \epsilonx02​2​∣x−x0​∣<ϵ olmasını istiyoruz.Bunu sağlamak için ∣x−x0∣<x02ϵ2|x - x_0| < \frac{x_0^2 \epsilon}{2}∣x−x0​∣<2x02​ϵ​ seçebiliriz.

STEP 8

STEP 9

STEP 10

ϵ=1\epsilon = 1ϵ=1 seçelim.Herhangi bir δ>0\delta > 0δ>0 için, x=min⁡(1,δ)x = \min(1, \delta)x=min(1,δ) ve t=x2t = \frac{x}{2}t=2x​ olsun.Böylece, ∣x−t∣=x2≤δ2<δ|x - t| = \frac{x}{2} \le \frac{\delta}{2} < \delta∣x−t∣=2x​≤2δ​<δ olur.

STEP 11

Ancak, ∣f(x)−f(t)∣=∣1x−1t∣=∣1x−2x∣=1x≥1=ϵ|f(x) - f(t)| = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{t} \right| = \left| \frac{1}{x} - \frac{2}{x} \right| = \frac{1}{x} \ge 1 = \epsilon∣f(x)−f(t)∣=∣∣​x1​−t1​∣∣​=∣∣​x1​−x2​∣∣​=x1​≥1=ϵ olur.

STEP 12

Bu, f(x)f(x)f(x)'in (0,1](0, 1](0,1] aralığında düzgün sürekli *olmadığını* gösterir.

STEP 13

f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​ fonksiyonu (0,1](0, 1](0,1] aralığında süreklidir, ancak düzgün sürekli değildir.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Sürekliliği Göster
2. Düzgün Sürekli Olmadığını Göster

$\frac{2}{x_0^2} |x - x_0| < \epsilon$ olmasını istiyoruz.
Bunu sağlamak için $|x - x_0| < \frac{x_0^2 \epsilon}{2}$ seçebiliriz.

$\epsilon = 1$ seçelim.
Herhangi bir $\delta > 0$ için, $x = \min(1, \delta)$ ve $t = \frac{x}{2}$ olsun.
Böylece, $|x - t| = \frac{x}{2} \le \frac{\delta}{2} < \delta$ olur.

Ancak, $|f(x) - f(t)| = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{t} \right| = \left| \frac{1}{x} - \frac{2}{x} \right| = \frac{1}{x} \ge 1 = \epsilon$ olur.

Bu, $f(x)$ 'in $(0, 1]$ aralığında düzgün sürekli olmadığını gösterir.

$f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu $(0, 1]$ aralığında süreklidir, ancak düzgün sürekli değildir.