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Questionf(x)=tan⁡xcsc⁡x−ln⁡(3x2x54)+x3x3f(x) = \tan x \csc x - \ln \left(\frac{3 \sqrt{x}}{2 \sqrt[4]{x^{5}}}\right) + \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x}}

Studdy Solution

STEP 1

1. La función f(x)=tan⁡xcsc⁡x−ln⁡(3x2x54)+x3x3 f(x) = \tan x \csc x - \ln \left( \frac{3 \sqrt{x}}{2 \sqrt[4]{x^5}} \right) + \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}} involucra funciones trigonométricas y logarítmicas.
2. La función tan⁡x\tan x y csc⁡x\csc x tienen restricciones en su dominio.
3. El logaritmo natural ln⁡\ln requiere que su argumento sea positivo.
4. Las raíces implican restricciones en el dominio, especialmente para valores negativos de xx.

STEP 2

1. Determinar el dominio de tan⁡xcsc⁡x\tan x \csc x.
2. Determinar el dominio de ln⁡(3x2x54)\ln \left( \frac{3 \sqrt{x}}{2 \sqrt[4]{x^5}} \right).
3. Determinar el dominio de x3x3\frac{x^3}{\sqrt[3]{x}}.
4. Encontrar la intersección de los dominios.

STEP 3

Determinar el dominio de tan⁡xcsc⁡x\tan x \csc x:
La función tan⁡x\tan x está definida para todos los xx excepto donde cos⁡x=0\cos x = 0, es decir, x≠π2+nπx \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, donde nn es un entero.
La función csc⁡x\csc x está definida para todos los xx excepto donde sin⁡x=0\sin x = 0, es decir, x≠nπx \neq n\pi, donde nn es un entero.
Por lo tanto, el dominio de tan⁡xcsc⁡x\tan x \csc x es x≠nπx \neq n\pi y x≠π2+nπx \neq \frac{\pi}{2} + n\pi.

STEP 4

Determinar el dominio de ln⁡(3x2x54)\ln \left( \frac{3 \sqrt{x}}{2 \sqrt[4]{x^5}} \right):
El argumento del logaritmo debe ser positivo:
3x2x54>0\frac{3 \sqrt{x}}{2 \sqrt[4]{x^5}} > 0
Simplificando la expresión:
3x2x54=3x1/22x5/4=32x−3/4\frac{3 \sqrt{x}}{2 \sqrt[4]{x^5}} = \frac{3 x^{1/2}}{2 x^{5/4}} = \frac{3}{2} x^{-3/4}
Para que 32x−3/4>0\frac{3}{2} x^{-3/4} > 0, necesitamos x>0x > 0.

STEP 5

Determinar el dominio de x3x3\frac{x^3}{\sqrt[3]{x}}:
Simplificando la expresión:
x3x3=x3x1/3=x3−1/3=x8/3\frac{x^3}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^3}{x^{1/3}} = x^{3 - 1/3} = x^{8/3}
Esta expresión está definida para todos los x≠0x \neq 0.

STEP 6

Encontrar la intersección de los dominios:
1. x≠nπx \neq n\pi y x≠π2+nπx \neq \frac{\pi}{2} + n\pi
2. x>0x > 0
3. x≠0x \neq 0
La intersección de estos dominios es x>0x > 0 y x≠nπx \neq n\pi y x≠π2+nπx \neq \frac{\pi}{2} + n\pi.
La solución es que el dominio de f(x) f(x) es x>0 x > 0 excluyendo x=nπ x = n\pi y x=π2+nπ x = \frac{\pi}{2} + n\pi .

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