Math / Calculus

Question $f(x) = x^2 - 2$
a) Berechnen Sie $f'(-2)$ mithilfe des Differenzenquotienten für $h \to 0$ .
b) Bestimmen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle 3 mithilfe des Differenzenquotienten für $h \to 0$ .
c) Beschreiben Sie, welcher Zusammenhang zwischen $x_0$ und $f'(x_0)$ besteht.

Studdy Solution

STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir sollen die Steigung der Funktion $f(x) = x^2 - 2$ an den Stellen $-2$ und $3$ mit dem Differenzenquotienten berechnen und den Zusammenhang zwischen einem Punkt $x_0$ und seiner Steigung $f'(x_0)$ beschreiben. Vorsicht! Nicht $h$ vergessen lassen im Differenzenquotienten!
Und Vorzeichenfehler sind auch fies!

STEP 2

1. Steigung bei $x = -2$ berechnen
2. Steigung bei $x = 3$ berechnen
3. Zusammenhang beschreiben

STEP 3

Wir erinnern uns an den Differenzenquotienten: $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ .
Hier ist $x_0 = \mathbf{-2}$ , also setzen wir das ein: $\frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$ .

STEP 4

Jetzt brauchen wir $f(-2 + h)$ und $f(-2)$ .
Los geht's! $f(-2 + h) = (-2 + h)^2 - 2 = 4 - 4h + h^2 - 2 = \mathbf{h^2 - 4h + 2}$ .
Und $f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = \mathbf{2}$ .

STEP 5

Die Werte einsetzen: $\frac{(h^2 - 4h + 2) - 2}{h} = \frac{h^2 - 4h}{h}$ .
Jetzt können wir mit $h$ dividieren (teilen durch eins): $\frac{h(h - 4)}{h \cdot 1} = \frac{h}{h} \cdot \frac{h-4}{1} = 1 \cdot (h-4) = h - 4$ .

STEP 6

Für $h \to 0$ erhalten wir: $\lim_{h \to 0} (h - 4) = \mathbf{-4}$ .
Die Steigung an der Stelle $-2$ ist also $\mathbf{-4}$ !

STEP 7

Jetzt mit $x_0 = \mathbf{3}$ : $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$ .

STEP 8

$f(3 + h) = (3 + h)^2 - 2 = 9 + 6h + h^2 - 2 = \mathbf{h^2 + 6h + 7}$ .
Und $f(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = \mathbf{7}$ .

STEP 9

Einsetzen: $\frac{(h^2 + 6h + 7) - 7}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h} = \frac{h(h + 6)}{h \cdot 1} = \frac{h}{h} \cdot \frac{h+6}{1} = 1 \cdot (h+6) = h + 6$ .

STEP 10

Für $h \to 0$ ergibt sich: $\lim_{h \to 0} (h + 6) = \mathbf{6}$ .
Die Steigung an der Stelle $3$ ist also $\mathbf{6}$ !

STEP 11

Wir haben gesehen, dass die Steigung an verschiedenen Stellen unterschiedlich ist.
An der Stelle $-2$ ist die Steigung $\mathbf{-4}$ und an der Stelle $3$ ist sie $\mathbf{6}$ .

STEP 12

$f'(x_0)$ gibt die momentane Änderungsrate der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ an.
Das ist die Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ im Punkt $(x_0, f(x_0))$ .

STEP 13

a) $f'(-2) = -4$ b) $f'(3) = 6$ c) $f'(x_0)$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ .

Was this helpful?

Question $f(x) = x^2 - 2$
a) Berechnen Sie $f'(-2)$ mithilfe des Differenzenquotienten für $h \to 0$ .
b) Bestimmen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle 3 mithilfe des Differenzenquotienten für $h \to 0$ .
c) Beschreiben Sie, welcher Zusammenhang zwischen $x_0$ und $f'(x_0)$ besteht.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Steigung bei $x = -2$ berechnen
2. Steigung bei $x = 3$ berechnen
3. Zusammenhang beschreiben

STEP 3

Wir erinnern uns an den Differenzenquotienten: $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ .
Hier ist $x_0 = \mathbf{-2}$ , also setzen wir das ein: $\frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$ .

STEP 4

Jetzt brauchen wir $f(-2 + h)$ und $f(-2)$ .
Los geht's! $f(-2 + h) = (-2 + h)^2 - 2 = 4 - 4h + h^2 - 2 = \mathbf{h^2 - 4h + 2}$ .
Und $f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = \mathbf{2}$ .

STEP 5

Die Werte einsetzen: $\frac{(h^2 - 4h + 2) - 2}{h} = \frac{h^2 - 4h}{h}$ .
Jetzt können wir mit $h$ dividieren (teilen durch eins): $\frac{h(h - 4)}{h \cdot 1} = \frac{h}{h} \cdot \frac{h-4}{1} = 1 \cdot (h-4) = h - 4$ .

STEP 6

Für $h \to 0$ erhalten wir: $\lim_{h \to 0} (h - 4) = \mathbf{-4}$ .
Die Steigung an der Stelle $-2$ ist also $\mathbf{-4}$ !

STEP 7

Jetzt mit $x_0 = \mathbf{3}$ : $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$ .

STEP 8

$f(3 + h) = (3 + h)^2 - 2 = 9 + 6h + h^2 - 2 = \mathbf{h^2 + 6h + 7}$ .
Und $f(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = \mathbf{7}$ .

STEP 9

Einsetzen: $\frac{(h^2 + 6h + 7) - 7}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h} = \frac{h(h + 6)}{h \cdot 1} = \frac{h}{h} \cdot \frac{h+6}{1} = 1 \cdot (h+6) = h + 6$ .

STEP 10

Für $h \to 0$ ergibt sich: $\lim_{h \to 0} (h + 6) = \mathbf{6}$ .
Die Steigung an der Stelle $3$ ist also $\mathbf{6}$ !

STEP 11

Wir haben gesehen, dass die Steigung an verschiedenen Stellen unterschiedlich ist.
An der Stelle $-2$ ist die Steigung $\mathbf{-4}$ und an der Stelle $3$ ist sie $\mathbf{6}$ .

STEP 12

$f'(x_0)$ gibt die momentane Änderungsrate der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ an.
Das ist die Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ im Punkt $(x_0, f(x_0))$ .

STEP 13

a) $f'(-2) = -4$ b) $f'(3) = 6$ c) $f'(x_0)$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ .

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Steigung bei x=−2x = -2x=−2 berechnen2. Steigung bei x=3x = 3x=3 berechnen3. Zusammenhang beschreiben

STEP 3

Wir erinnern uns an den Differenzenquotienten: f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}hf(x0​+h)−f(x0​)​.Hier ist x0=−2x_0 = \mathbf{-2}x0​=−2, also setzen wir das ein: f(−2+h)−f(−2)h\frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}hf(−2+h)−f(−2)​.

STEP 4

STEP 5

STEP 6

Für h→0h \to 0h→0 erhalten wir: lim⁡h→0(h−4)=−4\lim_{h \to 0} (h - 4) = \mathbf{-4}limh→0​(h−4)=−4.Die Steigung an der Stelle −2-2−2 ist also −4\mathbf{-4}−4!

STEP 7

Jetzt mit x0=3x_0 = \mathbf{3}x0​=3: f(3+h)−f(3)h\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}hf(3+h)−f(3)​.

STEP 8

f(3+h)=(3+h)2−2=9+6h+h2−2=h2+6h+7f(3 + h) = (3 + h)^2 - 2 = 9 + 6h + h^2 - 2 = \mathbf{h^2 + 6h + 7}f(3+h)=(3+h)2−2=9+6h+h2−2=h2+6h+7.Und f(3)=32−2=9−2=7f(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = \mathbf{7}f(3)=32−2=9−2=7.

STEP 9

Einsetzen: (h2+6h+7)−7h=h2+6hh=h(h+6)h⋅1=hh⋅h+61=1⋅(h+6)=h+6\frac{(h^2 + 6h + 7) - 7}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h} = \frac{h(h + 6)}{h \cdot 1} = \frac{h}{h} \cdot \frac{h+6}{1} = 1 \cdot (h+6) = h + 6h(h2+6h+7)−7​=hh2+6h​=h⋅1h(h+6)​=hh​⋅1h+6​=1⋅(h+6)=h+6.

STEP 10

Für h→0h \to 0h→0 ergibt sich: lim⁡h→0(h+6)=6\lim_{h \to 0} (h + 6) = \mathbf{6}limh→0​(h+6)=6.Die Steigung an der Stelle 333 ist also 6\mathbf{6}6!

STEP 11

Wir haben gesehen, dass die Steigung an verschiedenen Stellen unterschiedlich ist.An der Stelle −2-2−2 ist die Steigung −4\mathbf{-4}−4 und an der Stelle 333 ist sie 6\mathbf{6}6.

STEP 12

f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) gibt die **momentane Änderungsrate** der Funktion f(x)f(x)f(x) an der Stelle x0x_0x0​ an.Das ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x)f(x)f(x) im Punkt (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))(x0​,f(x0​)).

STEP 13

a) f′(−2)=−4f'(-2) = -4f′(−2)=−4 b) f′(3)=6f'(3) = 6f′(3)=6 c) f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) ist die Steigung der Funktion f(x)f(x)f(x) an der Stelle x0x_0x0​.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Steigung bei $x = -2$ berechnen
2. Steigung bei $x = 3$ berechnen
3. Zusammenhang beschreiben

Wir erinnern uns an den Differenzenquotienten: $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ .
Hier ist $x_0 = \mathbf{-2}$ , also setzen wir das ein: $\frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h}$ .

Für $h \to 0$ erhalten wir: $\lim_{h \to 0} (h - 4) = \mathbf{-4}$ .
Die Steigung an der Stelle $-2$ ist also $\mathbf{-4}$ !

Jetzt mit $x_0 = \mathbf{3}$ : $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$ .

$f(3 + h) = (3 + h)^2 - 2 = 9 + 6h + h^2 - 2 = \mathbf{h^2 + 6h + 7}$ .
Und $f(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = \mathbf{7}$ .

Einsetzen: $\frac{(h^2 + 6h + 7) - 7}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h} = \frac{h(h + 6)}{h \cdot 1} = \frac{h}{h} \cdot \frac{h+6}{1} = 1 \cdot (h+6) = h + 6$ .

Für $h \to 0$ ergibt sich: $\lim_{h \to 0} (h + 6) = \mathbf{6}$ .
Die Steigung an der Stelle $3$ ist also $\mathbf{6}$ !

Wir haben gesehen, dass die Steigung an verschiedenen Stellen unterschiedlich ist.
An der Stelle $-2$ ist die Steigung $\mathbf{-4}$ und an der Stelle $3$ ist sie $\mathbf{6}$ .

$f'(x_0)$ gibt die momentane Änderungsrate der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ an.
Das ist die Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x)$ im Punkt $(x_0, f(x_0))$ .

a) $f'(-2) = -4$ b) $f'(3) = 6$ c) $f'(x_0)$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ .