Math / Calculus

QuestionGiven the function $f(x) = -2.5 x \cdot e^{-0.1 x} + 2.64$ , find the antiderivative (indefinite integral) of the function.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die gegebene Funktion ist $f(x) = -2.5x \cdot e^{-0.1x} + 2.64$ .
2. Wir suchen die unbestimmte Integration dieser Funktion, also das unbestimmte Integral.

STEP 2

1. Bestimme das unbestimmte Integral von $-2.5x \cdot e^{-0.1x}$ .
2. Bestimme das unbestimmte Integral von $2.64$ .
3. Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale.
4. Füge die Integrationskonstante hinzu.

STEP 3

Bestimme das unbestimmte Integral von $-2.5x \cdot e^{-0.1x}$ .
Verwende die Methode der partiellen Integration, wobei $u = x$ und $dv = -2.5 e^{-0.1x} dx$ .

STEP 4

Berechne die Ableitungen und Integrale:
1. $du = dx$
2. $v = \int -2.5 e^{-0.1x} dx = \frac{-2.5}{-0.1} e^{-0.1x} = 25 e^{-0.1x}$

STEP 5

Wende die Formel der partiellen Integration an:
$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
$\int -2.5x \cdot e^{-0.1x} \, dx = x \cdot 25 e^{-0.1x} - \int 25 e^{-0.1x} \, dx$

STEP 6

Berechne das verbleibende Integral:
$\int 25 e^{-0.1x} \, dx = \frac{25}{-0.1} e^{-0.1x} = -250 e^{-0.1x}$
Setze dies in die partielle Integration ein:
$\int -2.5x \cdot e^{-0.1x} \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x}$

STEP 7

Bestimme das unbestimmte Integral von $2.64$ :
$\int 2.64 \, dx = 2.64x$

STEP 8

Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale:
$\int f(x) \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x$

STEP 9

Füge die Integrationskonstante $C$ hinzu:
$\int f(x) \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x + C$
Das unbestimmte Integral der Funktion ist:
$\boxed{25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x + C}$

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QuestionGiven the function $f(x) = -2.5 x \cdot e^{-0.1 x} + 2.64$ , find the antiderivative (indefinite integral) of the function.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die gegebene Funktion ist $f(x) = -2.5x \cdot e^{-0.1x} + 2.64$ .
2. Wir suchen die unbestimmte Integration dieser Funktion, also das unbestimmte Integral.

STEP 2

1. Bestimme das unbestimmte Integral von $-2.5x \cdot e^{-0.1x}$ .
2. Bestimme das unbestimmte Integral von $2.64$ .
3. Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale.
4. Füge die Integrationskonstante hinzu.

STEP 3

Bestimme das unbestimmte Integral von $-2.5x \cdot e^{-0.1x}$ .
Verwende die Methode der partiellen Integration, wobei $u = x$ und $dv = -2.5 e^{-0.1x} dx$ .

STEP 4

Berechne die Ableitungen und Integrale:
1. $du = dx$
2. $v = \int -2.5 e^{-0.1x} dx = \frac{-2.5}{-0.1} e^{-0.1x} = 25 e^{-0.1x}$

STEP 5

Wende die Formel der partiellen Integration an:
$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
$\int -2.5x \cdot e^{-0.1x} \, dx = x \cdot 25 e^{-0.1x} - \int 25 e^{-0.1x} \, dx$

STEP 6

Berechne das verbleibende Integral:
$\int 25 e^{-0.1x} \, dx = \frac{25}{-0.1} e^{-0.1x} = -250 e^{-0.1x}$
Setze dies in die partielle Integration ein:
$\int -2.5x \cdot e^{-0.1x} \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x}$

STEP 7

Bestimme das unbestimmte Integral von $2.64$ :
$\int 2.64 \, dx = 2.64x$

STEP 8

Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale:
$\int f(x) \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x$

STEP 9

Füge die Integrationskonstante $C$ hinzu:
$\int f(x) \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x + C$
Das unbestimmte Integral der Funktion ist:
$\boxed{25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x + C}$

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QuestionGiven the function f(x)=−2.5x⋅e−0.1x+2.64 f(x) = -2.5 x \cdot e^{-0.1 x} + 2.64 f(x)=−2.5x⋅e−0.1x+2.64, find the antiderivative (indefinite integral) of the function.

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STEP 1

1. Die gegebene Funktion ist f(x)=−2.5x⋅e−0.1x+2.64 f(x) = -2.5x \cdot e^{-0.1x} + 2.64 f(x)=−2.5x⋅e−0.1x+2.64.2. Wir suchen die unbestimmte Integration dieser Funktion, also das unbestimmte Integral.

STEP 2

1. Bestimme das unbestimmte Integral von −2.5x⋅e−0.1x -2.5x \cdot e^{-0.1x} −2.5x⋅e−0.1x.2. Bestimme das unbestimmte Integral von 2.64 2.64 2.64.3. Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale.4. Füge die Integrationskonstante hinzu.

STEP 3

Bestimme das unbestimmte Integral von −2.5x⋅e−0.1x -2.5x \cdot e^{-0.1x} −2.5x⋅e−0.1x.Verwende die Methode der partiellen Integration, wobei u=x u = x u=x und dv=−2.5e−0.1xdx dv = -2.5 e^{-0.1x} dx dv=−2.5e−0.1xdx.

STEP 4

Berechne die Ableitungen und Integrale:1. du=dx du = dx du=dx2. v=∫−2.5e−0.1xdx=−2.5−0.1e−0.1x=25e−0.1x v = \int -2.5 e^{-0.1x} dx = \frac{-2.5}{-0.1} e^{-0.1x} = 25 e^{-0.1x} v=∫−2.5e−0.1xdx=−0.1−2.5​e−0.1x=25e−0.1x

STEP 5

STEP 6

STEP 7

Bestimme das unbestimmte Integral von 2.64 2.64 2.64:∫2.64 dx=2.64x \int 2.64 \, dx = 2.64x ∫2.64dx=2.64x

STEP 8

Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale:∫f(x) dx=25xe−0.1x+250e−0.1x+2.64x \int f(x) \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x ∫f(x)dx=25xe−0.1x+250e−0.1x+2.64x

STEP 9

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QuestionGiven the function $f(x) = -2.5 x \cdot e^{-0.1 x} + 2.64$ , find the antiderivative (indefinite integral) of the function.

1. Die gegebene Funktion ist $f(x) = -2.5x \cdot e^{-0.1x} + 2.64$ .
2. Wir suchen die unbestimmte Integration dieser Funktion, also das unbestimmte Integral.

1. Bestimme das unbestimmte Integral von $-2.5x \cdot e^{-0.1x}$ .
2. Bestimme das unbestimmte Integral von $2.64$ .
3. Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale.
4. Füge die Integrationskonstante hinzu.

Bestimme das unbestimmte Integral von $-2.5x \cdot e^{-0.1x}$ .
Verwende die Methode der partiellen Integration, wobei $u = x$ und $dv = -2.5 e^{-0.1x} dx$ .

Berechne die Ableitungen und Integrale:
1. $du = dx$
2. $v = \int -2.5 e^{-0.1x} dx = \frac{-2.5}{-0.1} e^{-0.1x} = 25 e^{-0.1x}$

Bestimme das unbestimmte Integral von $2.64$ :
$\int 2.64 \, dx = 2.64x$

Kombiniere die Ergebnisse der beiden Integrale:
$\int f(x) \, dx = 25x e^{-0.1x} + 250 e^{-0.1x} + 2.64x$