Questionhorizontal 1.10 A stunt rider is propelled upward from his motorbike by a spring loaded ejector seat. The rider was travelling horizontally at $60 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ when the ejector seat was triggered, and as they leave the seat they are travelling with a vertical velocity of $15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$. The seat is 1.0 m off the ground. (a) What is the initial velocity of the stunt rider (in $\mathrm{km} \mathrm{h}^{-1}$ )? (b) How high does the stunt rider reach? (c) How far along the track does the stunt rider land on the ground? (d) What is the velocity of the stunt rider when they hit the ground (in $\mathrm{km} \mathrm{h}^{-1}$ )?
Answer: (a) $81 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}, 42^{\circ}$ above the horizontal (b) 12 m (c) 51 m (d) $82 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}, 43^{\circ}$ below the horizontal 1.11 A bullet is fired horizontally from a gun that is 1.5 m from the ground. The bullet travels at $1000 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ and strikes a tree 150 m

STEP 1

STEP 2

حساب السرعة الابتدائية للراكب البهلواني.
استخدام مكونات السرعة الأفقية والرأسية لحساب السرعة الابتدائية الكلية باستخدام نظرية فيثاغورس:
$$v_i = \sqrt{(v_{x})^2 + (v_{y})^2}$$
حيث $v_{x} = 60 \mathrm{~كم} \mathrm{~سا}^{-1}$ و $v_{y} = 15 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-1}$.
تحويل $v_{x}$ إلى متر في الثانية:
$$v_{x} = \frac{60 \times 1000}{3600} = 16.67 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-1}$$
الآن حساب $v_i$:
$$v_i = \sqrt{(16.67)^2 + (15)^2}$$
$$v_i = \sqrt{278.0889 + 225}$$
$$v_i = \sqrt{503.0889}$$
$$v_i \approx 22.43 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-1}$$
تحويل $v_i$ إلى كم/سا:
$$v_i = 22.43 \times \frac{3600}{1000} \approx 80.75 \mathrm{~كم} \mathrm{~سا}^{-1}$$
حساب الزاوية باستخدام الدوال المثلثية:
$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right)$$
$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{15}{16.67}\right)$$
$$\theta \approx 42^\circ$$
السرعة الابتدائية للراكب البهلواني هي $81 \mathrm{~كم} \mathrm{~سا}^{-1}, 42^\circ$ فوق الأفق.

STEP 3

حساب أقصى ارتفاع يصل إليه الراكب البهلواني.
استخدام معادلة الحركة الرأسية:
$$v_{y}^2 = u_{y}^2 + 2a s$$
حيث $v_{y} = 0$ عند أقصى ارتفاع، $u_{y} = 15 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-1}$، $a = -9.81 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-2}$.
$$0 = (15)^2 + 2(-9.81) s$$
$$0 = 225 - 19.62 s$$
$$19.62 s = 225$$
$$s = \frac{225}{19.62}$$
$$s \approx 11.47 \mathrm{~م}$$
إضافة ارتفاع المقعد:
$$h_{\text{max}} = 11.47 + 1.0 = 12.47 \mathrm{~م}$$

STEP 4

حساب المسافة الأفقية التي يهبط عندها الراكب البهلواني.
استخدام زمن الطيران لحساب المسافة الأفقية. أولاً، حساب زمن الطيران باستخدام معادلة الحركة الرأسية:
$$s = u_{y} t + \frac{1}{2} a t^2$$
حيث $s = -1.0 \mathrm{~م}$ (الهبوط إلى الأرض)، $u_{y} = 15 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-1}$، $a = -9.81 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-2}$.
$$-1.0 = 15 t - 4.905 t^2$$
حل المعادلة التربيعية:
$$4.905 t^2 - 15 t - 1.0 = 0$$
استخدام صيغة الجذور:
$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
حيث $a = 4.905$، $b = -15$، $c = -1.0$.
$$t = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \times 4.905 \times (-1.0)}}{2 \times 4.905}$$
$$t = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 19.62}}{9.81}$$
$$t = \frac{15 \pm \sqrt{244.62}}{9.81}$$
$$t \approx \frac{15 \pm 15.64}{9.81}$$
$$t_1 \approx \frac{30.64}{9.81} \approx 3.12 \mathrm{~ث}$$
$$t_2 \approx \frac{-0.64}{9.81}$$ (غير ممكن)
استخدام $t_1$ لحساب المسافة الأفقية:
$$d = v_{x} \times t_1$$
$$d = 16.67 \times 3.12$$
$$d \approx 52.0 \mathrm{~م}$$

STEP 5

حساب السرعة عند الاصطدام بالأرض.
استخدام مكونات السرعة الأفقية والرأسية النهائية. السرعة الأفقية تبقى ثابتة، والسرعة الرأسية النهائية باستخدام:
$$v_{y_{\text{final}}} = u_{y} + a t_1$$
$$v_{y_{\text{final}}} = 15 - 9.81 \times 3.12$$
$$v_{y_{\text{final}}} \approx 15 - 30.6$$
$$v_{y_{\text{final}}} \approx -15.6 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-1}$$
السرعة النهائية الكلية:
$$v_f = \sqrt{(v_{x})^2 + (v_{y_{\text{final}}})^2}$$
$$v_f = \sqrt{(16.67)^2 + (-15.6)^2}$$
$$v_f = \sqrt{278.0889 + 243.36}$$
$$v_f = \sqrt{521.4489}$$
$$v_f \approx 22.83 \mathrm{~م} \mathrm{~ث}^{-1}$$
تحويل $v_f$ إلى كم/سا:
$$v_f = 22.83 \times \frac{3600}{1000} \approx 82.19 \mathrm{~كم} \mathrm{~سا}^{-1}$$
حساب الزاوية باستخدام الدوال المثلثية:
$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{|v_{y_{\text{final}}}|}{v_{x}}\right)$$
$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.6}{16.67}\right)$$
$$\theta \approx 43^\circ$$
السرعة عند الاصطدام بالأرض هي $82 \mathrm{~كم} \mathrm{~سا}^{-1}, 43^\circ$ تحت الأفق.