Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

QuestionS4N 7:017: 01 24 Nov 2024 at 17:2...
Hwi If ψ(x)=Asin⁡πx9e−E0tℏt0⩽x⩽9\psi(x)=A \sin \frac{\pi x}{9} e^{-\frac{E_{0} t}{\hbar} t} 0 \leqslant x \leqslant 9 (1) A=A= ? (normalizatron) (2) ⟨Px⟩\left\langle P_{x}\right\rangle (3) ⟨E⟩\langle E\rangle (4) ⟨x⟩\langle x\rangle

Studdy Solution

STEP 1

1. دالة الموجة المعطاة هي Ψ(x)=Asin⁡(πxa)e−iE0tℏ \Psi(x) = A \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-\frac{iE_0 t}{\hbar}} .
2. المجال هو 0≤x≤a 0 \leq x \leq a .
3. نحتاج إلى حساب A A للتطبيع.
4. نحتاج إلى حساب ⟨Px⟩ \langle P_x \rangle .
5. نحتاج إلى حساب ⟨E⟩ \langle E \rangle .
6. نحتاج إلى حساب ⟨x⟩ \langle x \rangle .

STEP 2

1. تطبيع دالة الموجة لإيجاد A A .
2. حساب القيمة المتوقعة للزخم ⟨Px⟩ \langle P_x \rangle .
3. حساب القيمة المتوقعة للطاقة ⟨E⟩ \langle E \rangle .
4. حساب القيمة المتوقعة للموقع ⟨x⟩ \langle x \rangle .

STEP 3

نقوم بتطبيع دالة الموجة باستخدام الشرط:
∫0a∣Ψ(x)∣2 dx=1 \int_{0}^{a} |\Psi(x)|^2 \, dx = 1

STEP 4

نحسب ∣Ψ(x)∣2 |\Psi(x)|^2 :
∣Ψ(x)∣2=∣A∣2sin⁡2(πxa) |\Psi(x)|^2 = |A|^2 \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)

STEP 5

نقوم بحساب التكامل:
∫0a∣A∣2sin⁡2(πxa) dx=1 \int_{0}^{a} |A|^2 \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) \, dx = 1

STEP 6

نستخدم صيغة التكامل:
∫sin⁡2(kx) dx=x2−sin⁡(2kx)4k+C \int \sin^2(kx) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} + C
وبالتالي:
∫0asin⁡2(πxa) dx=a2 \int_{0}^{a} \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) \, dx = \frac{a}{2}

STEP 7

نحل المعادلة لإيجاد ∣A∣2 |A|^2 :
∣A∣2⋅a2=1 |A|^2 \cdot \frac{a}{2} = 1 ∣A∣2=2a |A|^2 = \frac{2}{a} A=2a A = \sqrt{\frac{2}{a}}

STEP 8

لحساب ⟨Px⟩ \langle P_x \rangle ، نستخدم العلاقة:
⟨Px⟩=∫0aΨ∗(x)(−iℏddx)Ψ(x) dx \langle P_x \rangle = \int_{0}^{a} \Psi^*(x) \left(-i\hbar \frac{d}{dx}\right) \Psi(x) \, dx

STEP 9

نحسب المشتقة:
ddxΨ(x)=Aπacos⁡(πxa)e−iE0tℏ \frac{d}{dx} \Psi(x) = A \frac{\pi}{a} \cos\left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-\frac{iE_0 t}{\hbar}}
وبالتالي:
⟨Px⟩=0 \langle P_x \rangle = 0
لأن التكامل للجيب وجيب التمام على فترة كاملة يساوي صفر.

STEP 10

لحساب ⟨E⟩ \langle E \rangle ، نستخدم:
⟨E⟩=E0 \langle E \rangle = E_0
لأن دالة الموجة هي دالة ذاتية لمعادلة شرودنغر الزمنية.

STEP 11

لحساب ⟨x⟩ \langle x \rangle ، نستخدم:
⟨x⟩=∫0ax∣Ψ(x)∣2 dx \langle x \rangle = \int_{0}^{a} x |\Psi(x)|^2 \, dx

STEP 12

نحسب التكامل:
⟨x⟩=a2 \langle x \rangle = \frac{a}{2}
لأن دالة الجيب متناسقة حول منتصف الفترة.
القيم المحسوبة هي: A=2a A = \sqrt{\frac{2}{a}} ⟨Px⟩=0 \langle P_x \rangle = 0 ⟨E⟩=E0 \langle E \rangle = E_0 ⟨x⟩=a2 \langle x \rangle = \frac{a}{2}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord