Math  /  Algebra

QuestionI.- Evaluar el siguiente determinante: a) Utilizando la primera fila. b) A partir de la tercera columna. c) Haciendo a42=1ya_{42}=1 \mathrm{y} todos los restantes elementos de la cuarta fila lo hacemos cero, usando las propiedades. A=2553527343653224|A|=\left|\begin{array}{cccc} -2 & 5 & -5 & 3 \\ 5 & -2 & 7 & 3 \\ 4 & -3 & 6 & 5 \\ -3 & 2 & 2 & 4 \end{array}\right|

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

Para evaluar el determinante utilizando la primera fila, aplicamos la regla de Laplace (expansión por cofactores) sobre la primera fila:
A=(2)C11+5C125C13+3C14 |A| = (-2)C_{11} + 5C_{12} - 5C_{13} + 3C_{14}
Donde Cij C_{ij} es el cofactor del elemento en la posición (i,j) (i, j) .

STEP 3

Calcular los cofactores necesarios:
C11=273365224 C_{11} = \left|\begin{array}{ccc} -2 & 7 & 3 \\ -3 & 6 & 5 \\ 2 & 2 & 4 \end{array}\right|
C12=573465324 C_{12} = -\left|\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 3 \\ 4 & 6 & 5 \\ -3 & 2 & 4 \end{array}\right|
C13=523435324 C_{13} = \left|\begin{array}{ccc} 5 & -2 & 3 \\ 4 & -3 & 5 \\ -3 & 2 & 4 \end{array}\right|
C14=527436322 C_{14} = -\left|\begin{array}{ccc} 5 & -2 & 7 \\ 4 & -3 & 6 \\ -3 & 2 & 2 \end{array}\right|

STEP 4

Calcular cada uno de los determinantes de las matrices 3x3 para obtener los cofactores:
C11=(2)(6452)7(3452)+3(3262) C_{11} = (-2)(6 \cdot 4 - 5 \cdot 2) - 7(-3 \cdot 4 - 5 \cdot 2) + 3(-3 \cdot 2 - 6 \cdot 2)
C12=(5(6452)7(445(3))+3(426(3))) C_{12} = -(5(6 \cdot 4 - 5 \cdot 2) - 7(4 \cdot 4 - 5 \cdot (-3)) + 3(4 \cdot 2 - 6 \cdot (-3)))
C13=5(3452)(2)(445(3))+3(42(3)(3)) C_{13} = 5(-3 \cdot 4 - 5 \cdot 2) - (-2)(4 \cdot 4 - 5 \cdot (-3)) + 3(4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3))
C14=(5(3622)(2)(467(3))+7(42(3)(3))) C_{14} = -(5(-3 \cdot 6 - 2 \cdot 2) - (-2)(4 \cdot 6 - 7 \cdot (-3)) + 7(4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3)))

STEP 5

Sustituir los valores de los cofactores en la expansión original y calcular el determinante:
A=(2)C11+5C125C13+3C14 |A| = (-2)C_{11} + 5C_{12} - 5C_{13} + 3C_{14}
Calcular el valor numérico.

STEP 6

Para evaluar el determinante a partir de la tercera columna, aplicamos la regla de Laplace sobre la tercera columna:
A=5C13+7C23+6C33+2C43 |A| = -5C_{13} + 7C_{23} + 6C_{33} + 2C_{43}
Calcular los cofactores correspondientes.

STEP 7

Calcular cada uno de los determinantes de las matrices 3x3 para obtener los cofactores correspondientes a la tercera columna.

STEP 8

Sustituir los valores de los cofactores en la expansión original y calcular el determinante:
A=5C13+7C23+6C33+2C43 |A| = -5C_{13} + 7C_{23} + 6C_{33} + 2C_{43}
Calcular el valor numérico.

STEP 9

Modificar el elemento a42=1 a_{42} = 1 y hacer cero los restantes elementos de la cuarta fila. Esto se puede hacer utilizando operaciones elementales de fila (sumar o restar múltiplos de otras filas).

STEP 10

Recalcular el determinante de la matriz modificada utilizando propiedades de determinantes (como la factorización de filas).
La solución del determinante es el mismo valor calculado en los pasos anteriores.

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