Math / Calculus

Question $I=\int_{0}^{9} \int_{0}^{\sqrt{x}} y \cos \left(x^{2}\right) d y d x$
Soit $A(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} y \cos \left(x^{2}\right) d y=\left.\frac{y^{2}}{2} \cos \left(x^{2}\right)\right|_{y=0} ^{\sqrt{x}}=\frac{x}{2} \cos \left(x^{2}\right)$
Donc $I=\int_{0}^{9} \frac{x}{2} \cos \left(x^{2}\right) d x=\left.\frac{1}{4} \sin \left(x^{2}\right)\right|_{x=0} ^{9}=\frac{\sin (81)}{4}$

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce qu'on nous demande ? Calculer une intégrale double, ce qui revient à calculer l'intégrale d'une fonction à deux variables sur une région donnée. Attention ! Il faut bien faire attention à l'ordre d'intégration et aux bornes d'intégration qui dépendent de $x$ .
Ne pas mélanger les variables $x$ et $y$ .

STEP 2

1. Intégration par rapport à $y$
2. Intégration par rapport à $x$

STEP 3

On commence par intégrer la fonction $y \cos(x^2)$ par rapport à $y$ , en considérant $x$ comme une constante.
Pourquoi ?
Parce que l'intégrale est d'abord sur $y$ .
L'intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{y^2}{2}$ .
On multiplie ce résultat par $\cos(x^2)$ qui est constante par rapport à $y$ .

STEP 4

$\int_{0}^{\sqrt{x}} y \cos(x^2) dy = \left[ \frac{y^2}{2} \cos(x^2) \right]_{y=0}^{y=\sqrt{x}}$ On évalue l'expression entre crochets aux bornes d'intégration $y = 0$ et $y = \sqrt{x}$ .

STEP 5

On remplace $y$ par $\sqrt{x}$ puis par $0$ et on soustrait les deux résultats : $\left( \frac{(\sqrt{x})^2}{2} \cos(x^2) \right) - \left( \frac{0^2}{2} \cos(x^2) \right) = \frac{x}{2} \cos(x^2) - 0 = \frac{x}{2} \cos(x^2)$ Super !
On a maintenant une fonction de $x$ seulement.

STEP 6

Maintenant, on intègre le résultat précédent, $\frac{x}{2} \cos(x^2)$ , par rapport à $x$ entre les bornes $0$ et $9$ .

STEP 7

Pour faciliter l'intégration, on peut faire un changement de variable : posons $u = x^2$ .
Alors $du = 2x \, dx$ , donc $x \, dx = \frac{1}{2} du$ .
Quand $x = 0$ , $u = 0^2 = 0$ .
Quand $x = 9$ , $u = 9^2 = 81$ .
Notre intégrale devient : $\int_{0}^{9} \frac{x}{2} \cos(x^2) dx = \int_{0}^{81} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos(u) du = \frac{1}{4} \int_{0}^{81} \cos(u) du$

STEP 8

L'intégrale de $\cos(u)$ est $\sin(u)$ .
Donc : $\frac{1}{4} \int_{0}^{81} \cos(u) du = \left[ \frac{1}{4} \sin(u) \right]_{0}^{81}$

STEP 9

On remplace $u$ par $81$ puis par $0$ et on soustrait : $\frac{1}{4} \sin(81) - \frac{1}{4} \sin(0) = \frac{\sin(81)}{4} - 0 = \frac{\sin(81)}{4}$

STEP 10

La valeur de l'intégrale double est donc $\frac{\sin(81)}{4}$ .

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STEP 1

STEP 2

1. Intégration par rapport à $y$
2. Intégration par rapport à $x$

STEP 3

STEP 4

$\int_{0}^{\sqrt{x}} y \cos(x^2) dy = \left[ \frac{y^2}{2} \cos(x^2) \right]_{y=0}^{y=\sqrt{x}}$ On évalue l'expression entre crochets aux bornes d'intégration $y = 0$ et $y = \sqrt{x}$ .

STEP 5

On remplace $y$ par $\sqrt{x}$ puis par $0$ et on soustrait les deux résultats : $\left( \frac{(\sqrt{x})^2}{2} \cos(x^2) \right) - \left( \frac{0^2}{2} \cos(x^2) \right) = \frac{x}{2} \cos(x^2) - 0 = \frac{x}{2} \cos(x^2)$ Super !
On a maintenant une fonction de $x$ seulement.

STEP 6

Maintenant, on intègre le résultat précédent, $\frac{x}{2} \cos(x^2)$ , par rapport à $x$ entre les bornes $0$ et $9$ .

STEP 7

STEP 8

L'intégrale de $\cos(u)$ est $\sin(u)$ .
Donc : $\frac{1}{4} \int_{0}^{81} \cos(u) du = \left[ \frac{1}{4} \sin(u) \right]_{0}^{81}$

STEP 9

On remplace $u$ par $81$ puis par $0$ et on soustrait : $\frac{1}{4} \sin(81) - \frac{1}{4} \sin(0) = \frac{\sin(81)}{4} - 0 = \frac{\sin(81)}{4}$

STEP 10

La valeur de l'intégrale double est donc $\frac{\sin(81)}{4}$ .

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STEP 1

STEP 2

1. Intégration par rapport à yyy2. Intégration par rapport à xxx

STEP 3

STEP 4

∫0xycos⁡(x2)dy=[y22cos⁡(x2)]y=0y=x \int_{0}^{\sqrt{x}} y \cos(x^2) dy = \left[ \frac{y^2}{2} \cos(x^2) \right]_{y=0}^{y=\sqrt{x}} ∫0x​​ycos(x2)dy=[2y2​cos(x2)]y=0y=x​​ On évalue l'expression entre crochets aux **bornes d'intégration** y=0y = 0y=0 et y=xy = \sqrt{x}y=x​.

STEP 5

STEP 6

Maintenant, on intègre le résultat précédent, x2cos⁡(x2)\frac{x}{2} \cos(x^2)2x​cos(x2), par rapport à xxx entre les **bornes** 000 et 999.

STEP 7

STEP 8

L'intégrale de cos⁡(u)\cos(u)cos(u) est sin⁡(u)\sin(u)sin(u).Donc : 14∫081cos⁡(u)du=[14sin⁡(u)]081 \frac{1}{4} \int_{0}^{81} \cos(u) du = \left[ \frac{1}{4} \sin(u) \right]_{0}^{81} 41​∫081​cos(u)du=[41​sin(u)]081​

STEP 9

On remplace uuu par 818181 puis par 000 et on soustrait : 14sin⁡(81)−14sin⁡(0)=sin⁡(81)4−0=sin⁡(81)4 \frac{1}{4} \sin(81) - \frac{1}{4} \sin(0) = \frac{\sin(81)}{4} - 0 = \frac{\sin(81)}{4} 41​sin(81)−41​sin(0)=4sin(81)​−0=4sin(81)​

STEP 10

La valeur de l'intégrale double est donc sin⁡(81)4\frac{\sin(81)}{4}4sin(81)​.

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1. Intégration par rapport à $y$
2. Intégration par rapport à $x$

$\int_{0}^{\sqrt{x}} y \cos(x^2) dy = \left[ \frac{y^2}{2} \cos(x^2) \right]_{y=0}^{y=\sqrt{x}}$ On évalue l'expression entre crochets aux bornes d'intégration $y = 0$ et $y = \sqrt{x}$ .

Maintenant, on intègre le résultat précédent, $\frac{x}{2} \cos(x^2)$ , par rapport à $x$ entre les bornes $0$ et $9$ .

L'intégrale de $\cos(u)$ est $\sin(u)$ .
Donc : $\frac{1}{4} \int_{0}^{81} \cos(u) du = \left[ \frac{1}{4} \sin(u) \right]_{0}^{81}$

On remplace $u$ par $81$ puis par $0$ et on soustrait : $\frac{1}{4} \sin(81) - \frac{1}{4} \sin(0) = \frac{\sin(81)}{4} - 0 = \frac{\sin(81)}{4}$

La valeur de l'intégrale double est donc $\frac{\sin(81)}{4}$ .