Question If a set of 3 vectors $\{v_1, v_2, v_3\}$ spans $\mathbb{R}^3$ , then it forms a basis for $\mathbb{R}^3$ . True or False?

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات
1. الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ .
2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

STEP 2

لكي يشكل الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء $R^{3}$ .

STEP 3

الامتداد إلى $R^{3}$ يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في $R^{3}$ كمجموع خطي للمتجهات $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

STEP 4

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة $c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0$ لها حل وحيد هو $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ .

STEP 5

بما أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ ، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في $R^{3}$ من هذه المتجهات.

STEP 6

إذا كان الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ لا يشكل مجموعة مستقلة خطياً، فإن واحداً أو أكثر من المتجهات يمكن التعبير عنه كمجموع خطي للآخرين، وبالتالي لا يمكن أن يشكل قاعدة.

STEP 7

لكن بما أن الطقم يمتد إلى $R^{3}$ والفضاء $R^{3}$ له البعد 3، فإن هذا يعني أن الطقم يجب أن يكون مستقل خطياً أيضاً، لأنه لا يمكن لأقل من ثلاثة متجهات مستقلة خطياً أن تمتد إلى $R^{3}$ .

STEP 8

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.
الجواب: صحيح (True).

Was this helpful?

Question If a set of 3 vectors $\{v_1, v_2, v_3\}$ spans $\mathbb{R}^3$ , then it forms a basis for $\mathbb{R}^3$ . True or False?

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات
1. الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ .
2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

STEP 2

لكي يشكل الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء $R^{3}$ .

STEP 3

الامتداد إلى $R^{3}$ يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في $R^{3}$ كمجموع خطي للمتجهات $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

STEP 4

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة $c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0$ لها حل وحيد هو $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ .

STEP 5

بما أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ ، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في $R^{3}$ من هذه المتجهات.

STEP 6

إذا كان الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ لا يشكل مجموعة مستقلة خطياً، فإن واحداً أو أكثر من المتجهات يمكن التعبير عنه كمجموع خطي للآخرين، وبالتالي لا يمكن أن يشكل قاعدة.

STEP 7

STEP 8

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.
الجواب: صحيح (True).

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question If a set of 3 vectors {v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\}{v1​,v2​,v3​} spans R3\mathbb{R}^3R3, then it forms a basis for R3\mathbb{R}^3R3. True or False?

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات1. الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} يمتد إلى R3R^{3}R3.2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي R3R^{3}R3 ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

STEP 2

لكي يشكل الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} قاعدة للفضاء الشعاعي R3R^{3}R3، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء R3R^{3}R3.

STEP 3

الامتداد إلى R3R^{3}R3 يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في R3R^{3}R3 كمجموع خطي للمتجهات v1,v2,v3v_{1}, v_{2}, v_{3}v1​,v2​,v3​.

STEP 4

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة c1v1+c2v2+c3v3=0c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0c1​v1​+c2​v2​+c3​v3​=0 لها حل وحيد هو c1=c2=c3=0c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0c1​=c2​=c3​=0.

STEP 5

بما أن الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} يمتد إلى R3R^{3}R3، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في R3R^{3}R3 من هذه المتجهات.

STEP 6

STEP 7

STEP 8

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي R3R^{3}R3 لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.الجواب: صحيح (True).

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question If a set of 3 vectors $\{v_1, v_2, v_3\}$ spans $\mathbb{R}^3$ , then it forms a basis for $\mathbb{R}^3$ . True or False?

الافتراضات
1. الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ .
2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

لكي يشكل الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء $R^{3}$ .

الامتداد إلى $R^{3}$ يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في $R^{3}$ كمجموع خطي للمتجهات $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة $c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0$ لها حل وحيد هو $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ .

بما أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ ، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في $R^{3}$ من هذه المتجهات.

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.
الجواب: صحيح (True).