Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Questionii) Discutere l'esistenza del limite per n→+∞n \rightarrow+\infty della successione (an)n\left(a_{n}\right)_{n} definita per ricorrenza da {a0=12an+1=an−an5,n≥0\left\{\begin{array}{l} a_{0}=\frac{1}{2} \\ a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{5}, \quad n \geq 0 \end{array}\right.
Se la successione (an)n\left(a_{n}\right)_{n} è regolare, determinare lim⁡n→+∞an\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}.

Studdy Solution

STEP 1

1. La successione è definita per ricorrenza con a0=12 a_0 = \frac{1}{2} .
2. La relazione ricorsiva è data da an+1=an−an5 a_{n+1} = a_n - a_n^5 .
3. Dobbiamo determinare se il limite della successione esiste per n→+∞ n \rightarrow +\infty .
4. Se la successione è regolare, dobbiamo determinare il valore del limite.

STEP 2

1. Analizzare la convergenza della successione.
2. Determinare il limite della successione se esiste.

STEP 3

Analizzare la convergenza della successione:
Consideriamo la relazione ricorsiva:
an+1=an−an5 a_{n+1} = a_n - a_n^5
Osserviamo che an5 a_n^5 è sempre positivo per an>0 a_n > 0 . Quindi, an+1<an a_{n+1} < a_n per ogni n n . Questo suggerisce che la successione è monotona decrescente.

STEP 4

Verificare il limite inferiore della successione:
Poiché an+1=an−an5 a_{n+1} = a_n - a_n^5 , se an a_n diventa negativo, an+1 a_{n+1} sarebbe maggiore di an a_n , il che contraddice la monotonia decrescente. Quindi, an a_n deve rimanere non negativo.
Inoltre, poiché a0=12 a_0 = \frac{1}{2} e la successione è decrescente, an a_n è sempre maggiore o uguale a zero.

STEP 5

Determinare il limite della successione:
Se la successione converge a un limite L L , allora deve valere:
L=L−L5 L = L - L^5
Da cui segue:
L5=0 L^5 = 0
Quindi L=0 L = 0 .
La successione (an)n\left(a_{n}\right)_{n} è regolare e lim⁡n→+∞an=0\lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} = \boxed{0}.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord