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Math  /  Calculus

QuestionIn this question we will solve the following initial value problem: f′(x)=5x9 and f(2)=500f^{\prime}(x)=5 x^{9} \text { and } f(2)=500 a) Find the most general antiderivative of f′(x)=5x9f^{\prime}(x)=5 x^{9} [ Select ] b) With the initial condition f(2)=500f(2)=500, what is the value of CC ? [ Select ]
Combining a) and b) gives the final answer.

Studdy Solution

STEP 1

这是什么意思？ 我们需要找到一个函数 f(x)f(x)，它的导数是 5x95x^9，并且当 x=2x = 2 时，f(x)=500f(x) = 500。 注意！ 不要忘记积分常数 CC，并在使用初始条件时要小心计算！

STEP 2

1. 求不定积分
2. 使用初始条件求解 CC

STEP 3

我们首先要找到 f′(x)=5x9f'(x) = 5x^9 的最一般的反导数。这意味着我们要找到 5x95x^9 的不定积分。 写出来就是： ∫5x9 dx \int 5x^9 \, dx

STEP 4

我们知道 ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C，其中 n≠−1n \ne -1。在这个问题中，n=9n = 9，所以 n+1=10n+1 = 10。 把常数 55 放在积分符号外面，我们得到： 5∫x9 dx=5⋅x1010+C 5 \int x^9 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{10}}{10} + C 化简一下，我们得到： 12x10+C \frac{1}{2} x^{10} + C 太棒了！

STEP 5

我们知道 f(2)=500f(2) = 500。这意味着当 x=2x = 2 时，函数 f(x)f(x) 的值为 500500。让我们把这些值代入我们刚刚找到的表达式 12x10+C\frac{1}{2}x^{10} + C： f(2)=12(2)10+C=500 f(2) = \frac{1}{2} (\mathbf{2})^{10} + C = \mathbf{500}

STEP 6

现在我们只需要解出 CC。首先，简化一下： 12⋅1024+C=500 \frac{1}{2} \cdot 1024 + C = 500 512+C=500 512 + C = 500 为了求解 CC，我们从两边减去 512512： C=500−512 C = 500 - 512 C=−12 C = \mathbf{-12} 我们找到了 CC!

STEP 7

把 C=−12C = -12 代入我们找到的表达式，最终答案是： f(x)=12x10−12 f(x) = \frac{1}{2}x^{10} - 12

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