Math

QuestionCalculate the integral 03(1ex)dx\int_{0}^{3}(1-e^{-x}) \, dx with h=2h=2.

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen1. Wir haben ein bestimmtes Integral von0 bis3 für die Funktion (1ex)(1-e^{-x}). . Die Variable hh ist gleich, aber sie wird in diesem Problem nicht verwendet.

STEP 2

Um das bestimmte Integral zu berechnen, müssen wir zuerst das unbestimmte Integral der Funktion finden. Das unbestimmte Integral der Funktion (1ex)(1-e^{-x}) ist gegeben durch(1ex)dx\int (1-e^{-x}) \, dx

STEP 3

Dieses Integral kann als die Summe zweier Integrale geschrieben werden1dxexdx\int1 \, dx - \int e^{-x} \, dx

STEP 4

Das Integral von1 ist einfach x und das Integral von exe^{-x} ist ex-e^{-x}. Daher haben wirx(ex)x - (-e^{-x})

STEP 5

Jetzt berechnen wir das bestimmte Integral von0 bis3. Das bestimmte Integral ist gegeben durch[x(ex)]03[x - (-e^{-x})]0^3

STEP 6

Wir setzen die Grenzen ein und berechnen den Ausdruck[3(e3)][0(e0)][3 - (-e^{-3})] - [0 - (-e^{0})]

STEP 7

Vereinfachen Sie den Ausdruck3(e3)e03 - (-e^{-3}) - e^{0}

STEP 8

Da e0e^{0} gleich1 ist, wird der Ausdruck zu3+e313 + e^{-3} -1

STEP 9

Vereinfachen Sie den Ausdruck weiter2+e32 + e^{-3}Dies ist die Lösung des bestimmten Integrals.

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