Math  /  Trigonometry

QuestionLa marcia Un gruppo di attivisti antinucleari ha organizzato üna marcia di protesta verso un sito scelto per la costruzione di una centrale termonucleare. I manifestanti camminano, in pianura, con velocità costante, dirigendosi in linea retta verso le torri di raffreddamento dell'impianto, che sono già state costru- ore 7:30 ite. Alle 7 uno degli organizzatori della marcia antinucleare vede la cima della torre di raffreddamento con un angolo di elevazione di 2;302^{\circ} ; 30 minuti più tardi l'ampiezza dell'angolo è pari a 55^{\circ}. Si calcoli a che ora il gruppo raggiungerà il cantiere, arrotondando il risultato al minuto.

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo problema? Dobbiamo scoprire a che ora i manifestanti arriveranno alla centrale nucleare, sapendo che camminano a velocità costante e osservando come cambia l'angolo di elevazione della torre di raffreddamento. Attenzione! Bisogna stare attenti alle unità di misura: angoli in gradi, tempo in minuti e ore.
E non dimentichiamoci di arrotondare il risultato al minuto!

STEP 2

1. Impostare il problema con la trigonometria
2. Calcolare la distanza iniziale
3. Calcolare la velocità
4. Calcolare il tempo rimanente
5. Calcolare l'ora di arrivo

STEP 3

Immaginiamo un triangolo rettangolo!
Il cateto opposto è l'altezza hh della torre, il cateto adiacente è la distanza dd dalla torre e l'angolo tra l'ipotenusa e il cateto adiacente è l'angolo di elevazione.

STEP 4

Possiamo usare la tangente: tan(α)=hd\tan(\alpha) = \frac{h}{d} dove α\alpha è l'angolo di elevazione, hh è l'altezza della torre e dd è la distanza dalla torre.

STEP 5

Alle 7:00, l'angolo è 22^\circ, quindi: tan(2)=hd0\tan(2^\circ) = \frac{h}{d_0} Dopo 30 minuti (7:30), l'angolo è 55^\circ e la distanza è d1=d0vtd_1 = d_0 - v \cdot t, dove vv è la velocità e tt è il tempo trascorso (30 minuti): tan(5)=hd0v30\tan(5^\circ) = \frac{h}{d_0 - v \cdot 30}

STEP 6

Dalla prima equazione, abbiamo h=d0tan(2)h = d_0 \cdot \tan(2^\circ).

STEP 7

Sostituendo hh nella seconda equazione, otteniamo: tan(5)=d0tan(2)d0v30\tan(5^\circ) = \frac{d_0 \cdot \tan(2^\circ)}{d_0 - v \cdot 30}

STEP 8

Semplificando e risolvendo per d0d_0, troviamo: d0=30vtan(5)tan(5)tan(2)d_0 = \frac{30v \cdot \tan(5^\circ)}{\tan(5^\circ) - \tan(2^\circ)}

STEP 9

Dalla seconda equazione, possiamo esprimere vv in termini di d0d_0: v=d030(1tan(2)tan(5))v = \frac{d_0}{30} \cdot \left(1 - \frac{\tan(2^\circ)}{\tan(5^\circ)}\right)

STEP 10

Il tempo totale per percorrere la distanza iniziale d0d_0 è T=d0vT = \frac{d_0}{v}.

STEP 11

Sostituendo l'espressione per d0d_0 e semplificando, otteniamo: T=30tan(5)tan(5)tan(2)300.08750.08750.034946.3 minutiT = \frac{30 \cdot \tan(5^\circ)}{\tan(5^\circ) - \tan(2^\circ)} \approx \frac{30 \cdot 0.0875}{0.0875 - 0.0349} \approx 46.3 \text{ minuti} Questo è il tempo totale di percorrenza.
Sono già passati 30 minuti, quindi il tempo rimanente è 46.330=16.346.3 - 30 = 16.3 minuti, circa **16 minuti**.

STEP 12

Aggiungendo 16 minuti alle 7:30, otteniamo le **7:46**.

STEP 13

I manifestanti arriveranno alla centrale nucleare alle 7:46 circa.

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