Math / Calculus

Question $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-a x}+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{\sqrt{x-a}}$ ail $(a \in \mathbb{R})$

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous devons calculer la limite d'une fonction lorsque $x$ approche $a$ par la droite.
2. La fonction à étudier est $\frac{\sqrt{x^{2}-ax} + \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{\sqrt{x-a}}$ .
3. Nous devons simplifier l'expression pour éviter les formes indéterminées.

STEP 2

1. Simplifier l'expression sous le radical.
2. Appliquer des techniques de factorisation pour simplifier la fonction entière.
3. Calculer la limite après simplification.

STEP 3

Simplifions d'abord les expressions sous le radical. Pour $\sqrt{x^2 - ax}$ , nous pouvons factoriser $x$ : $\sqrt{x^2 - ax} = \sqrt{x(x - a)}$

STEP 4

Pour $\sqrt{x^2 - a^2}$ , nous utilisons l'identité des différences de carrés: $\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{(x - a)(x + a)}$

STEP 5

Ré-écrivons l'expression initiale en utilisant les simplifications obtenues : $\frac{\sqrt{x(x - a)} + \sqrt{(x - a)(x + a)}}{\sqrt{x - a}}$

STEP 6

Factorisons $\sqrt{x - a}$ dans le numérateur : $\frac{\sqrt{x(x - a)} + \sqrt{(x - a)(x + a)}}{\sqrt{x - a}} = \frac{\sqrt{x}\sqrt{x - a} + \sqrt{x - a}\sqrt{x + a}}{\sqrt{x - a}}$

STEP 7

Simplifions en annulant les termes $\sqrt{x - a}$ dans le numérateur et le dénominateur : $= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + a}}{1} = \sqrt{x} + \sqrt{x + a}$

STEP 8

Évaluons la limite lorsque $x \rightarrow a^+$ : $\lim_{x \rightarrow a^+} (\sqrt{x} + \sqrt{x + a}) = \sqrt{a} + \sqrt{2a}$
Solution: $\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{\sqrt{x^2 - ax} + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x - a}} = \sqrt{a} + \sqrt{2a}$

Was this helpful?

Question $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-a x}+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{\sqrt{x-a}}$ ail $(a \in \mathbb{R})$

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous devons calculer la limite d'une fonction lorsque $x$ approche $a$ par la droite.
2. La fonction à étudier est $\frac{\sqrt{x^{2}-ax} + \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{\sqrt{x-a}}$ .
3. Nous devons simplifier l'expression pour éviter les formes indéterminées.

STEP 2

1. Simplifier l'expression sous le radical.
2. Appliquer des techniques de factorisation pour simplifier la fonction entière.
3. Calculer la limite après simplification.

STEP 3

Simplifions d'abord les expressions sous le radical. Pour $\sqrt{x^2 - ax}$ , nous pouvons factoriser $x$ : $\sqrt{x^2 - ax} = \sqrt{x(x - a)}$

STEP 4

Pour $\sqrt{x^2 - a^2}$ , nous utilisons l'identité des différences de carrés: $\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{(x - a)(x + a)}$

STEP 5

Ré-écrivons l'expression initiale en utilisant les simplifications obtenues : $\frac{\sqrt{x(x - a)} + \sqrt{(x - a)(x + a)}}{\sqrt{x - a}}$

STEP 6

Factorisons $\sqrt{x - a}$ dans le numérateur : $\frac{\sqrt{x(x - a)} + \sqrt{(x - a)(x + a)}}{\sqrt{x - a}} = \frac{\sqrt{x}\sqrt{x - a} + \sqrt{x - a}\sqrt{x + a}}{\sqrt{x - a}}$

STEP 7

Simplifions en annulant les termes $\sqrt{x - a}$ dans le numérateur et le dénominateur : $= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + a}}{1} = \sqrt{x} + \sqrt{x + a}$

STEP 8

Évaluons la limite lorsque $x \rightarrow a^+$ : $\lim_{x \rightarrow a^+} (\sqrt{x} + \sqrt{x + a}) = \sqrt{a} + \sqrt{2a}$
Solution: $\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{\sqrt{x^2 - ax} + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x - a}} = \sqrt{a} + \sqrt{2a}$

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Questionlim⁡x→a+x2−ax+x2−a2x−a\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-a x}+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{\sqrt{x-a}}limx→a+​x−a​x2−ax​+x2−a2​​ ail (a∈R)(a \in \mathbb{R})(a∈R)

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Simplifier l'expression sous le radical.2. Appliquer des techniques de factorisation pour simplifier la fonction entière.3. Calculer la limite après simplification.

STEP 3

Simplifions d'abord les expressions sous le radical. Pour x2−ax\sqrt{x^2 - ax}x2−ax​, nous pouvons factoriser xxx: x2−ax=x(x−a) \sqrt{x^2 - ax} = \sqrt{x(x - a)} x2−ax​=x(x−a)​

STEP 4

Pour x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x2−a2​, nous utilisons l'identité des différences de carrés: x2−a2=(x−a)(x+a) \sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{(x - a)(x + a)} x2−a2​=(x−a)(x+a)​

STEP 5

Ré-écrivons l'expression initiale en utilisant les simplifications obtenues : x(x−a)+(x−a)(x+a)x−a \frac{\sqrt{x(x - a)} + \sqrt{(x - a)(x + a)}}{\sqrt{x - a}} x−a​x(x−a)​+(x−a)(x+a)​​

STEP 6

STEP 7

Simplifions en annulant les termes x−a\sqrt{x - a}x−a​ dans le numérateur et le dénominateur : =x+x+a1=x+x+a = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + a}}{1} = \sqrt{x} + \sqrt{x + a} =1x​+x+a​​=x​+x+a​

STEP 8

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-a x}+\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{\sqrt{x-a}}$ ail $(a \in \mathbb{R})$

1. Simplifier l'expression sous le radical.
2. Appliquer des techniques de factorisation pour simplifier la fonction entière.
3. Calculer la limite après simplification.

Simplifions d'abord les expressions sous le radical. Pour $\sqrt{x^2 - ax}$ , nous pouvons factoriser $x$ : $\sqrt{x^2 - ax} = \sqrt{x(x - a)}$

Pour $\sqrt{x^2 - a^2}$ , nous utilisons l'identité des différences de carrés: $\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{(x - a)(x + a)}$

Ré-écrivons l'expression initiale en utilisant les simplifications obtenues : $\frac{\sqrt{x(x - a)} + \sqrt{(x - a)(x + a)}}{\sqrt{x - a}}$

Simplifions en annulant les termes $\sqrt{x - a}$ dans le numérateur et le dénominateur : $= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + a}}{1} = \sqrt{x} + \sqrt{x + a}$