Math / Calculus

Question $\lim _{x \rightarrow-\infty} h(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} 1-x-e^{-x}$

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous avons la fonction $h(x) = 1 - x - e^{-x}$ .
2. Nous cherchons la limite de $h(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ .

STEP 2

1. Analyser le comportement de chaque terme de $h(x)$ séparément lorsque $x \rightarrow -\infty$ .
2. Calculer la limite de $1$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ .
3. Calculer la limite de $-x$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ .
4. Calculer la limite de $-e^{-x}$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ .
5. Combiner les résultats pour trouver la limite de $h(x)$ .

STEP 3

Analyser le terme constant $1$ :
La limite de $1$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est simplement $1$ , car c'est une constante.

STEP 4

Analyser le terme $-x$ :
Lorsque $x \rightarrow -\infty$ , $-x$ tend vers $+\infty$ .

STEP 5

Analyser le terme $-e^{-x}$ :
Lorsque $x \rightarrow -\infty$ , $-x \rightarrow +\infty$ , donc $e^{-x} = e^{+x} \rightarrow \infty$ . Ainsi, $-e^{-x} \rightarrow -\infty$ .

STEP 6

Combiner les résultats:
La limite de $h(x) = 1 - x - e^{-x}$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est:
$\lim_{x \rightarrow -\infty} (1 - x - e^{-x}) = 1 + \infty - \infty$
Cette expression est indéterminée, mais en analysant les termes, on voit que $-x$ et $-e^{-x}$ dominent et tendent tous deux vers $-\infty$ .
Ainsi, la limite de $h(x)$ est $-\infty$ .
La limite de $h(x)$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est:
$\boxed{-\infty}$

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Question $\lim _{x \rightarrow-\infty} h(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} 1-x-e^{-x}$

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STEP 1

1. Nous avons la fonction $h(x) = 1 - x - e^{-x}$ .
2. Nous cherchons la limite de $h(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ .

STEP 2

STEP 3

Analyser le terme constant $1$ :
La limite de $1$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est simplement $1$ , car c'est une constante.

STEP 4

Analyser le terme $-x$ :
Lorsque $x \rightarrow -\infty$ , $-x$ tend vers $+\infty$ .

STEP 5

Analyser le terme $-e^{-x}$ :
Lorsque $x \rightarrow -\infty$ , $-x \rightarrow +\infty$ , donc $e^{-x} = e^{+x} \rightarrow \infty$ . Ainsi, $-e^{-x} \rightarrow -\infty$ .

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Questionlim⁡x→−∞h(x)=lim⁡x→−∞1−x−e−x\lim _{x \rightarrow-\infty} h(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} 1-x-e^{-x}limx→−∞​h(x)=limx→−∞​1−x−e−x

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STEP 1

1. Nous avons la fonction h(x)=1−x−e−x h(x) = 1 - x - e^{-x} h(x)=1−x−e−x.2. Nous cherchons la limite de h(x) h(x) h(x) lorsque x x x tend vers −∞-\infty−∞.

STEP 2

STEP 3

Analyser le terme constant 1 1 1:La limite de 1 1 1 lorsque x→−∞ x \rightarrow -\infty x→−∞ est simplement 1 1 1, car c'est une constante.

STEP 4

Analyser le terme −x -x −x:Lorsque x→−∞ x \rightarrow -\infty x→−∞, −x -x −x tend vers +∞ +\infty +∞.

STEP 5

Analyser le terme −e−x -e^{-x} −e−x:Lorsque x→−∞ x \rightarrow -\infty x→−∞, −x→+∞ -x \rightarrow +\infty −x→+∞, donc e−x=e+x→∞ e^{-x} = e^{+x} \rightarrow \infty e−x=e+x→∞. Ainsi, −e−x→−∞ -e^{-x} \rightarrow -\infty −e−x→−∞.

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Question $\lim _{x \rightarrow-\infty} h(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} 1-x-e^{-x}$

1. Nous avons la fonction $h(x) = 1 - x - e^{-x}$ .
2. Nous cherchons la limite de $h(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ .

Analyser le terme constant $1$ :
La limite de $1$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est simplement $1$ , car c'est une constante.

Analyser le terme $-x$ :
Lorsque $x \rightarrow -\infty$ , $-x$ tend vers $+\infty$ .

Analyser le terme $-e^{-x}$ :
Lorsque $x \rightarrow -\infty$ , $-x \rightarrow +\infty$ , donc $e^{-x} = e^{+x} \rightarrow \infty$ . Ainsi, $-e^{-x} \rightarrow -\infty$ .