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STEP 1

1. Nous avons la fonction $h(x) = 1 - x - e^{-x}$.
2. Nous cherchons la limite de $h(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

STEP 2

1. Analyser le comportement de chaque terme de $h(x)$ séparément lorsque $x \rightarrow -\infty$.
2. Calculer la limite de $1$ lorsque $x \rightarrow -\infty$.
3. Calculer la limite de $-x$ lorsque $x \rightarrow -\infty$.
4. Calculer la limite de $-e^{-x}$ lorsque $x \rightarrow -\infty$.
5. Combiner les résultats pour trouver la limite de $h(x)$.

STEP 3

Analyser le terme constant $1$:
La limite de $1$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est simplement $1$, car c'est une constante.

STEP 4

Analyser le terme $-x$:
Lorsque $x \rightarrow -\infty$, $-x$ tend vers $+\infty$.

STEP 5

Analyser le terme $-e^{-x}$:
Lorsque $x \rightarrow -\infty$, $-x \rightarrow +\infty$, donc $e^{-x} = e^{+x} \rightarrow \infty$.
Ainsi, $-e^{-x} \rightarrow -\infty$.

Combiner les résultats:
La limite de $h(x) = 1 - x - e^{-x}$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est:
$$\lim_{x \rightarrow -\infty} (1 - x - e^{-x}) = 1 + \infty - \infty$$ Cette expression est indéterminée, mais en analysant les termes, on voit que $-x$ et $-e^{-x}$ dominent et tendent tous deux vers $-\infty$.
Ainsi, la limite de $h(x)$ est $-\infty$.
La limite de $h(x)$ lorsque $x \rightarrow -\infty$ est:
$$\boxed{-\infty}$$