Math Snap

STEP 1

Bu ne soruyor?
Bu problem, verilen bir matrisin özdeğerlerini bulmamızı ve bu matrisle temsil edilen dönüşümün bir döndürme ve ölçeklemenin bileşimi olduğunu varsayarak, döndürme açısını $\varphi$ (-$\pi$ < $\varphi$ ≤ $\pi$) ve ölçeklendirme faktörünü $r$ bulmamızı istiyor.
Dikkat!
Özdeğerleri hesaplarken işaretlere dikkat etmeliyiz.
Ayrıca, döndürme açısının istenen aralıkta olduğundan emin olmalıyız.

STEP 2

1. Özdeğerleri doğrula
2. Ölçeklendirme faktörünü hesapla
3. Döndürme açısını hesapla

STEP 3

Verilen özdeğerler $\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8i$ ve $\lambda_2 = -8\sqrt{3} - 8i$.
Bunları doğrulamak için, $A - \lambda I$ matrisinin determinantını sıfıra eşitleyerek karakteristik denklemi çözebiliriz.
Bunu yapmayacağız çünkü özdeğerler bize verilmiş!
Süper!

STEP 4

Ölçeklendirme faktörü $r$, özdeğerlerin mutlak değerine eşittir.
Özdeğerlerden birinin mutlak değerini hesaplayalım:
$$|\lambda_1| = |-8\sqrt{3} + 8i| = \sqrt{(-8\sqrt{3})^2 + 8^2} = \sqrt{192 + 64} = \sqrt{256} = 16$$ Dolayısıyla, ölçeklendirme faktörü $r = \mathbf{16}$'dır.

STEP 5

Özdeğer $\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8i$ kutupsal biçimde $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ olarak yazılabilir, burada $r$ ölçeklendirme faktörüdür ve $\varphi$ döndürme açısıdır.

STEP 6

$\lambda_1 = 16(\frac{-8\sqrt{3}}{16} + \frac{8}{16}i) = 16(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$.

STEP 7

Kosinüs değeri $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ve sinüs değeri $\frac{1}{2}$ olan açı $\varphi = \frac{\mathbf{5\pi}}{\mathbf{6}}$'dır.
Bu açı, $-\pi < \varphi \leq \pi$ aralığındadır.

Özdeğerler: $-8\sqrt{3} + 8i, -8\sqrt{3} - 8i$.
Döndürme açısı: $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.
Ölçeklendirme faktörü: $r = 16$.