Math / Algebra

QuestionList the eigenvalues of A . The transformation $\mathrm{x} \mapsto \mathrm{Ax}$ is the composition of a rotation and a scaling. Give the angle $\varphi$ of the rotation, where $-\pi<\varphi \leq \pi$ , and give the scale factor $r$ . $A=\left[\begin{array}{rr} -8 \sqrt{3} & 8 \\ -8 & -8 \sqrt{3} \end{array}\right]$
The eigenvalues of A are $\lambda=-8 \sqrt{3}+8 \boldsymbol{i},-8 \sqrt{3}-8 \boldsymbol{i}$ . (Simplify your answer. Use a comma to separate answers as needed. Type an exact answer, using radicals and $i$ as needed.) $\varphi=$ $\square$ (Simplify your answer. Type an exact answer, using $\pi$ as needed.)

Studdy Solution

STEP 1

Bu ne soruyor? Bu problem, verilen bir matrisin özdeğerlerini bulmamızı ve bu matrisle temsil edilen dönüşümün bir döndürme ve ölçeklemenin bileşimi olduğunu varsayarak, döndürme açısını $\varphi$ (- $\pi$ < $\varphi$ ≤ $\pi$ ) ve ölçeklendirme faktörünü $r$ bulmamızı istiyor. Dikkat! Özdeğerleri hesaplarken işaretlere dikkat etmeliyiz.
Ayrıca, döndürme açısının istenen aralıkta olduğundan emin olmalıyız.

STEP 2

1. Özdeğerleri doğrula
2. Ölçeklendirme faktörünü hesapla
3. Döndürme açısını hesapla

STEP 3

Verilen özdeğerler $\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8i$ ve $\lambda_2 = -8\sqrt{3} - 8i$ .
Bunları doğrulamak için, $A - \lambda I$ matrisinin determinantını sıfıra eşitleyerek karakteristik denklemi çözebiliriz.
Bunu yapmayacağız çünkü özdeğerler bize verilmiş!
Süper!

STEP 4

Ölçeklendirme faktörü $r$ , özdeğerlerin mutlak değerine eşittir.
Özdeğerlerden birinin mutlak değerini hesaplayalım: $|\lambda_1| = |-8\sqrt{3} + 8i| = \sqrt{(-8\sqrt{3})^2 + 8^2} = \sqrt{192 + 64} = \sqrt{256} = 16$ Dolayısıyla, ölçeklendirme faktörü $r = \mathbf{16}$ 'dır.

STEP 5

Özdeğer $\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8i$ kutupsal biçimde $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ olarak yazılabilir, burada $r$ ölçeklendirme faktörüdür ve $\varphi$ döndürme açısıdır.

STEP 6

$\lambda_1 = 16(\frac{-8\sqrt{3}}{16} + \frac{8}{16}i) = 16(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$ .

STEP 7

Kosinüs değeri $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ve sinüs değeri $\frac{1}{2}$ olan açı $\varphi = \frac{\mathbf{5\pi}}{\mathbf{6}}$ 'dır.
Bu açı, $-\pi < \varphi \leq \pi$ aralığındadır.

STEP 8

Özdeğerler: $-8\sqrt{3} + 8i, -8\sqrt{3} - 8i$ . Döndürme açısı: $\varphi = \frac{5\pi}{6}$ . Ölçeklendirme faktörü: $r = 16$ .

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Özdeğerleri doğrula
2. Ölçeklendirme faktörünü hesapla
3. Döndürme açısını hesapla

STEP 3

Verilen özdeğerler $\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8i$ ve $\lambda_2 = -8\sqrt{3} - 8i$ .
Bunları doğrulamak için, $A - \lambda I$ matrisinin determinantını sıfıra eşitleyerek karakteristik denklemi çözebiliriz.
Bunu yapmayacağız çünkü özdeğerler bize verilmiş!
Süper!

STEP 4

Ölçeklendirme faktörü $r$ , özdeğerlerin mutlak değerine eşittir.
Özdeğerlerden birinin mutlak değerini hesaplayalım: $|\lambda_1| = |-8\sqrt{3} + 8i| = \sqrt{(-8\sqrt{3})^2 + 8^2} = \sqrt{192 + 64} = \sqrt{256} = 16$ Dolayısıyla, ölçeklendirme faktörü $r = \mathbf{16}$ 'dır.

STEP 5

Özdeğer $\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8i$ kutupsal biçimde $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ olarak yazılabilir, burada $r$ ölçeklendirme faktörüdür ve $\varphi$ döndürme açısıdır.

STEP 6

$\lambda_1 = 16(\frac{-8\sqrt{3}}{16} + \frac{8}{16}i) = 16(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$ .

STEP 7

Kosinüs değeri $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ve sinüs değeri $\frac{1}{2}$ olan açı $\varphi = \frac{\mathbf{5\pi}}{\mathbf{6}}$ 'dır.
Bu açı, $-\pi < \varphi \leq \pi$ aralığındadır.

STEP 8

Özdeğerler: $-8\sqrt{3} + 8i, -8\sqrt{3} - 8i$ . Döndürme açısı: $\varphi = \frac{5\pi}{6}$ . Ölçeklendirme faktörü: $r = 16$ .

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Özdeğerleri doğrula2. Ölçeklendirme faktörünü hesapla3. Döndürme açısını hesapla

STEP 3

STEP 4

STEP 5

Özdeğer λ1=−83+8i\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8iλ1​=−83​+8i kutupsal biçimde r(cos⁡φ+isin⁡φ)r(\cos\varphi + i\sin\varphi)r(cosφ+isinφ) olarak yazılabilir, burada rrr ölçeklendirme faktörüdür ve φ\varphiφ döndürme açısıdır.

STEP 6

λ1=16(−8316+816i)=16(−32+12i)\lambda_1 = 16(\frac{-8\sqrt{3}}{16} + \frac{8}{16}i) = 16(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)λ1​=16(16−83​​+168​i)=16(−23​​+21​i).

STEP 7

Kosinüs değeri −32-\frac{\sqrt{3}}{2}−23​​ ve sinüs değeri 12\frac{1}{2}21​ olan açı φ=5π6\varphi = \frac{\mathbf{5\pi}}{\mathbf{6}}φ=65π​'dır.Bu açı, −π<φ≤π-\pi < \varphi \leq \pi−π<φ≤π aralığındadır.

STEP 8

Özdeğerler: −83+8i,−83−8i-8\sqrt{3} + 8i, -8\sqrt{3} - 8i−83​+8i,−83​−8i. Döndürme açısı: φ=5π6\varphi = \frac{5\pi}{6}φ=65π​. Ölçeklendirme faktörü: r=16r = 16r=16.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Özdeğerleri doğrula
2. Ölçeklendirme faktörünü hesapla
3. Döndürme açısını hesapla

Özdeğer $\lambda_1 = -8\sqrt{3} + 8i$ kutupsal biçimde $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ olarak yazılabilir, burada $r$ ölçeklendirme faktörüdür ve $\varphi$ döndürme açısıdır.

$\lambda_1 = 16(\frac{-8\sqrt{3}}{16} + \frac{8}{16}i) = 16(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)$ .

Kosinüs değeri $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ve sinüs değeri $\frac{1}{2}$ olan açı $\varphi = \frac{\mathbf{5\pi}}{\mathbf{6}}$ 'dır.
Bu açı, $-\pi < \varphi \leq \pi$ aralığındadır.

Özdeğerler: $-8\sqrt{3} + 8i, -8\sqrt{3} - 8i$ . Döndürme açısı: $\varphi = \frac{5\pi}{6}$ . Ölçeklendirme faktörü: $r = 16$ .