Question $\log (3 x-7)+\log (3 x+1)=1+\log 2$

Studdy Solution

STEP 1

ما هو المطلوب؟ المطلوب إيجاد قيمة $x$ التي تحقق المعادلة اللوغاريتمية. انتبه! يجب أن تكون قيم $x$ ضمن مجال اللوغاريتم، أي أن $3x - 7 > 0$ و $3x + 1 > 0$ .

STEP 2

1. تبسيط المعادلة باستخدام خواص اللوغاريتمات.
2. تحويل المعادلة إلى معادلة تربيعية.
3. حل المعادلة التربيعية.
4. التحقق من الحلول.

STEP 3

باستخدام خاصية جمع اللوغاريتمات $\log a + \log b = \log(a \cdot b)$ ، يمكننا كتابة: $\log((3x - 7) \cdot (3x + 1)) = 1 + \log 2$

STEP 4

باستخدام خاصية $\log 10 = 1$ , يمكننا كتابة $1$ على شكل $\log 10$ .
وبالتالي تصبح المعادلة: $\log((3x - 7) \cdot (3x + 1)) = \log 10 + \log 2$ باستخدام خاصية جمع اللوغاريتمات، يصبح الطرف الأيمن $\log(10 \cdot 2) = \log 20$ .

STEP 5

بما أن كلا الطرفين عبارة عن لوغاريتمات، يمكننا حذفها للحصول على: $(3x - 7)(3x + 1) = 20$

STEP 6

بفك الأقواس نحصل على: $9x^2 + 3x - 21x - 7 = 20$ $9x^2 - 18x - 7 = 20$

STEP 7

بطرح $20$ من كلا الطرفين، نحصل على: $9x^2 - 18x - 27 = 0$

STEP 8

لتبسيط المعادلة، نقسم جميع الحدود على $9$ : $x^2 - 2x - 3 = 0$

STEP 9

بتحليل المعادلة نحصل على: $(x - 3)(x + 1) = 0$

STEP 10

إذن، قيم $x$ هي $x = 3$ أو $x = -1$ .

STEP 11

بالتعويض عن $x = 3$ في المعادلة الأصلية، نجد أن $3(3) - 7 = 2 > 0$ و $3(3) + 1 = 10 > 0$ ، إذن $x = 3$ حل مقبول.

STEP 12

بالتعويض عن $x = -1$ في المعادلة الأصلية، نجد أن $3(-1) - 7 = -10 < 0$ ، إذن $x = -1$ حل مرفوض.

STEP 13

الحل الوحيد المقبول هو $x = 3$ .

Was this helpful?

Get Studdy

Scan QR code with your device to get Studdy on iOS or Android

QR code

Studdy solves anything!

Download the app

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Parents Influencer program Contact Policy Terms