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Math  /  Algebra

QuestionMontrer par riecurence (∀n∈N∗)\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2}

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous devons prouver l'égalité par récurrence.
2. L'égalité à prouver est : la somme des n n premiers nombres impairs est égale à n2 n^2 .
3. La récurrence mathématique est une méthode appropriée pour prouver cette égalité.

STEP 2

1. Vérifier l'initialisation de la récurrence.
2. Formuler l'hypothèse de récurrence.
3. Effectuer l'étape de récurrence.

STEP 3

Vérification de l'initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n=1 n = 1 .
1=12 1 = 1^2
La propriété est vraie pour n=1 n = 1 .

STEP 4

Formulation de l'hypothèse de récurrence : Supposons que la propriété est vraie pour un entier k k , c'est-à-dire :
1+3+5+⋯+(2k−1)=k2 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2

STEP 5

Étape de récurrence : Montrons que la propriété est vraie pour k+1 k+1 .
Considérons la somme jusqu'à k+1 k+1 :
1+3+5+⋯+(2k−1)+(2(k+1)−1) 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) + (2(k+1) - 1)
En utilisant l'hypothèse de récurrence, cela devient :
k2+(2(k+1)−1) k^2 + (2(k+1) - 1)
Simplifions l'expression :
k2+2k+1=(k+1)2 k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2
Ainsi, la propriété est vraie pour k+1 k+1 .
La propriété est donc vraie pour tout n∈N∗ n \in \mathbb{N}^{*} par récurrence.

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