Math / Geometry

QuestionНа диагонали $A C$ квадрата $A B C D$ выбрали такую точку $M$ , что $A M=A B$ . Перпендикуляр к отрезку $A C$ в точке $M$ пересекает сторону $B C$ в точке $H$ . Найдите отношение длин отрезков $B H$ и $M C$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. $A B C D$ — это квадрат.
2. $A M = A B$ .
3. $M$ — точка на диагонали $A C$ .
4. Перпендикуляр к $A C$ в точке $M$ пересекает $B C$ в точке $H$ .
5. Необходимо найти отношение $\frac{B H}{M C}$ .

STEP 2

1. Определить координаты точек.
2. Найти уравнение прямой $M H$ .
3. Найти точку пересечения $H$ с $B C$ .
4. Вычислить длины отрезков $B H$ и $M C$ .
5. Найти отношение $\frac{B H}{M C}$ .

STEP 3

Пусть квадрат $A B C D$ имеет сторону длиной $a$ . Тогда координаты точек будут: - $A(0, 0)$ - $B(a, 0)$ - $C(a, a)$ - $D(0, a)$

STEP 4

Так как $A M = A B = a$ , точка $M$ будет находиться на диагонали $A C$ , и её координаты можно определить как $M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ .

STEP 5

Диагональ $A C$ имеет уравнение $y = x$ . Перпендикуляр к $A C$ в точке $M$ будет иметь уравнение $y = -x + a$ .

STEP 6

Сторона $B C$ имеет уравнение $x = a$ . Подставим это в уравнение перпендикуляра: $y = -a + a = 0$ Таким образом, точка $H$ имеет координаты $(a, 0)$ .

STEP 7

Теперь найдём длины отрезков: - $B H = a - a = 0$ - $M C = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

STEP 8

Отношение $\frac{B H}{M C} = \frac{0}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 0$ .
Отношение длин отрезков $B H$ и $M C$ равно:
$\boxed{0}$

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

1. $A B C D$ — это квадрат.
2. $A M = A B$ .
3. $M$ — точка на диагонали $A C$ .
4. Перпендикуляр к $A C$ в точке $M$ пересекает $B C$ в точке $H$ .
5. Необходимо найти отношение $\frac{B H}{M C}$ .

STEP 2

1. Определить координаты точек.
2. Найти уравнение прямой $M H$ .
3. Найти точку пересечения $H$ с $B C$ .
4. Вычислить длины отрезков $B H$ и $M C$ .
5. Найти отношение $\frac{B H}{M C}$ .

STEP 3

Пусть квадрат $A B C D$ имеет сторону длиной $a$ . Тогда координаты точек будут: - $A(0, 0)$ - $B(a, 0)$ - $C(a, a)$ - $D(0, a)$

STEP 4

Так как $A M = A B = a$ , точка $M$ будет находиться на диагонали $A C$ , и её координаты можно определить как $M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ .

STEP 5

Диагональ $A C$ имеет уравнение $y = x$ . Перпендикуляр к $A C$ в точке $M$ будет иметь уравнение $y = -x + a$ .

STEP 6

Сторона $B C$ имеет уравнение $x = a$ . Подставим это в уравнение перпендикуляра: $y = -a + a = 0$ Таким образом, точка $H$ имеет координаты $(a, 0)$ .

STEP 7

Теперь найдём длины отрезков: - $B H = a - a = 0$ - $M C = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

STEP 8

Отношение $\frac{B H}{M C} = \frac{0}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 0$ .
Отношение длин отрезков $B H$ и $M C$ равно:
$\boxed{0}$

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

STEP 3

Пусть квадрат ABCD A B C D ABCD имеет сторону длиной a a a. Тогда координаты точек будут: - A(0,0) A(0, 0) A(0,0) - B(a,0) B(a, 0) B(a,0) - C(a,a) C(a, a) C(a,a) - D(0,a) D(0, a) D(0,a)

STEP 4

Так как AM=AB=a A M = A B = a AM=AB=a, точка M M M будет находиться на диагонали AC A C AC, и её координаты можно определить как M(a2,a2) M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) M(2a​,2a​).

STEP 5

Диагональ AC A C AC имеет уравнение y=x y = x y=x. Перпендикуляр к AC A C AC в точке M M M будет иметь уравнение y=−x+a y = -x + a y=−x+a.

STEP 6

Сторона BC B C BC имеет уравнение x=a x = a x=a. Подставим это в уравнение перпендикуляра: y=−a+a=0 y = -a + a = 0 y=−a+a=0 Таким образом, точка H H H имеет координаты (a,0) (a, 0) (a,0).

STEP 7

STEP 8

Отношение BHMC=0a22=0 \frac{B H}{M C} = \frac{0}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 0 MCBH​=2a2​​0​=0. Отношение длин отрезков BH B H BH и MC M C MC равно:0 \boxed{0} 0​

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Пусть квадрат $A B C D$ имеет сторону длиной $a$ . Тогда координаты точек будут: - $A(0, 0)$ - $B(a, 0)$ - $C(a, a)$ - $D(0, a)$

Так как $A M = A B = a$ , точка $M$ будет находиться на диагонали $A C$ , и её координаты можно определить как $M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ .

Диагональ $A C$ имеет уравнение $y = x$ . Перпендикуляр к $A C$ в точке $M$ будет иметь уравнение $y = -x + a$ .

Сторона $B C$ имеет уравнение $x = a$ . Подставим это в уравнение перпендикуляра: $y = -a + a = 0$ Таким образом, точка $H$ имеет координаты $(a, 0)$ .

Отношение $\frac{B H}{M C} = \frac{0}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 0$ .
Отношение длин отрезков $B H$ и $M C$ равно:
$\boxed{0}$