Studdy AI Logo
Math  /  Geometry

QuestionНайдите квадрат расстояния от начала координат до центра окружности, заданной уравнением: x2+8x+y2−8y−4=0x^{2}+8 x+y^{2}-8 y-4=0

Studdy Solution

STEP 1

1. Уравнение окружности имеет вид (x−h)2+(y−k)2=r2 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 .
2. Необходимо найти квадрат расстояния от начала координат до центра окружности.

STEP 2

1. Преобразовать уравнение окружности к стандартному виду.
2. Найти координаты центра окружности.
3. Вычислить квадрат расстояния от начала координат до центра окружности.

STEP 3

Преобразовать уравнение окружности к стандартному виду:
Начальное уравнение: x2+8x+y2−8y−4=0 x^2 + 8x + y^2 - 8y - 4 = 0
Для этого нужно выполнить приведение к полному квадрату для xx и yy.
STEP_1.1: Выполним приведение к полному квадрату для xx:
x2+8x x^2 + 8x
Добавим и вычтем 1616 (так как (82)2=16(\frac{8}{2})^2 = 16):
x2+8x+16−16 x^2 + 8x + 16 - 16
=(x+4)2−16 = (x + 4)^2 - 16
STEP_1.2: Выполним приведение к полному квадрату для yy:
y2−8y y^2 - 8y
Добавим и вычтем 1616 (так как (−82)2=16(\frac{-8}{2})^2 = 16):
y2−8y+16−16 y^2 - 8y + 16 - 16
=(y−4)2−16 = (y - 4)^2 - 16
STEP_1.3: Подставим результаты в уравнение:
(x+4)2−16+(y−4)2−16−4=0 (x + 4)^2 - 16 + (y - 4)^2 - 16 - 4 = 0
(x+4)2+(y−4)2=36 (x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 36
Теперь уравнение имеет стандартный вид.

STEP 4

Найти координаты центра окружности:
Центр окружности (h,k)(h, k) имеет координаты (−4,4)(-4, 4).

STEP 5

Вычислить квадрат расстояния от начала координат (0,0)(0, 0) до центра окружности (−4,4)(-4, 4):
Формула расстояния: d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2 d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2
d2=(−4−0)2+(4−0)2 d^2 = (-4 - 0)^2 + (4 - 0)^2
d2=16+16 d^2 = 16 + 16
d2=32 d^2 = 32
Квадрат расстояния от начала координат до центра окружности:
32 \boxed{32}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord