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QuestionOn considère la suite (Un)n∈INU0=3,Un+1=3Un+2Un+2\left(U_{n}\right)_{n \in I N} U_{0}=3, U_{n+1}=\frac{3 U_{n}+2}{U_{n}+2} 1) Montrer que ∀n∈INUn>2\forall n \in I N \quad U_{n}>2 2) Montrer que (Un)\left(U_{n}\right) est décroissante. En déduire que (Un)\left(U_{n}\right) est convergente 3) a-Montrer ∀n∈INUn+1−2≤14(Un−2)\forall n \in I N U_{n+1}-2 \leq \frac{1}{4}\left(U_{n}-2\right) bb - En déduire ∀n∈INUn−2≤(14)n\forall n \in I N \quad U_{n}-2 \leq\left(\frac{1}{4}\right)^{n} c - Calculer lim⁡x→+∞Un\lim _{x \rightarrow+\infty} U_{n}

Studdy Solution

STEP 1

1. La suite (Un)(U_n) est définie par U0=3U_0 = 3 et Un+1=3Un+2Un+2U_{n+1} = \frac{3U_n + 2}{U_n + 2}.
2. On doit prouver que ∀n∈N,Un>2\forall n \in \mathbb{N}, U_n > 2.
3. On doit prouver que la suite est décroissante et convergente.
4. On doit démontrer des inégalités spécifiques et calculer la limite de la suite.

STEP 2

1. Prouver que ∀n∈N,Un>2\forall n \in \mathbb{N}, U_n > 2.
2. Prouver que (Un)(U_n) est décroissante et convergente.
3. Montrer les inégalités et calculer la limite de la suite.

STEP 3

Prouvons que ∀n∈N,Un>2\forall n \in \mathbb{N}, U_n > 2 par récurrence.
Initialisation: Pour n=0n = 0, U0=3>2U_0 = 3 > 2.
Hérédité: Supposons que pour un certain n∈Nn \in \mathbb{N}, Un>2U_n > 2. Montrons que Un+1>2U_{n+1} > 2.
Un+1=3Un+2Un+2 U_{n+1} = \frac{3U_n + 2}{U_n + 2}
Comme Un>2U_n > 2, alors 3Un>63U_n > 6 et Un+2>4U_n + 2 > 4.
Donc,
Un+1=3Un+2Un+2>6+24=2 U_{n+1} = \frac{3U_n + 2}{U_n + 2} > \frac{6 + 2}{4} = 2
Par récurrence, ∀n∈N,Un>2\forall n \in \mathbb{N}, U_n > 2.

STEP 4

Montrons que (Un)(U_n) est décroissante.
Calculons Un+1−UnU_{n+1} - U_n:
Un+1−Un=3Un+2Un+2−Un U_{n+1} - U_n = \frac{3U_n + 2}{U_n + 2} - U_n
=3Un+2−Un(Un+2)Un+2 = \frac{3U_n + 2 - U_n(U_n + 2)}{U_n + 2}
=3Un+2−Un2−2UnUn+2 = \frac{3U_n + 2 - U_n^2 - 2U_n}{U_n + 2}
=−Un2+Un+2Un+2 = \frac{-U_n^2 + U_n + 2}{U_n + 2}
Comme Un>2U_n > 2, on a −Un2+Un+2<0-U_n^2 + U_n + 2 < 0, donc Un+1−Un<0U_{n+1} - U_n < 0.
Ainsi, (Un)(U_n) est décroissante.

STEP 5

Puisque (Un)(U_n) est décroissante et minorée par 2, elle est convergente.

STEP 6

a. Montrons que ∀n∈N,Un+1−2≤14(Un−2)\forall n \in \mathbb{N}, U_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{4}(U_n - 2).
Un+1−2=3Un+2Un+2−2 U_{n+1} - 2 = \frac{3U_n + 2}{U_n + 2} - 2
=3Un+2−2(Un+2)Un+2 = \frac{3U_n + 2 - 2(U_n + 2)}{U_n + 2}
=3Un+2−2Un−4Un+2 = \frac{3U_n + 2 - 2U_n - 4}{U_n + 2}
=Un−2Un+2 = \frac{U_n - 2}{U_n + 2}
Puisque Un>2U_n > 2, on a Un+2>4U_n + 2 > 4, donc
Un−2Un+2≤Un−24 \frac{U_n - 2}{U_n + 2} \leq \frac{U_n - 2}{4}
Ainsi,
Un+1−2≤14(Un−2) U_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{4}(U_n - 2)

STEP 7

b. En déduire ∀n∈N,Un−2≤(14)n\forall n \in \mathbb{N}, U_n - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^n.
Par récurrence, montrons que ∀n∈N,Un−2≤(14)n\forall n \in \mathbb{N}, U_n - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^n.
Initialisation: Pour n=0n = 0, U0−2=1≤1U_0 - 2 = 1 \leq 1.
Hérédité: Supposons que pour un certain nn, Un−2≤(14)nU_n - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^n.
Alors,
Un+1−2≤14(Un−2)≤14(14)n=(14)n+1 U_{n+1} - 2 \leq \frac{1}{4}(U_n - 2) \leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\right)^n = \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}
Par récurrence, ∀n∈N,Un−2≤(14)n\forall n \in \mathbb{N}, U_n - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^n.

STEP 8

c. Calculons lim⁡n→∞Un\lim_{n \to \infty} U_n.
Puisque Un−2≤(14)nU_n - 2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^n et (14)n→0\left(\frac{1}{4}\right)^n \to 0 quand n→∞n \to \infty, on a:
lim⁡n→∞(Un−2)=0 \lim_{n \to \infty} (U_n - 2) = 0
Donc,
lim⁡n→∞Un=2 \lim_{n \to \infty} U_n = 2

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