Math Snap

STEP 1

1. نحتاج إلى حل التوافق الخطي $13x \equiv 2 \pmod{2 \cdot 3 \cdot 5}$.
2. سنقوم بحل النظام التالي من المعادلات:
$$ \begin{array}{l} 13x \equiv 2 \pmod{2} \\ 13x \equiv 2 \pmod{3} \\ 13x \equiv 2 \pmod{5} \end{array}
\] 3. سنستخدم مبرهنة الباقي الصيني لحل النظام.

STEP 2

1. حل كل معادلة توافقية على حدة.
2. استخدام مبرهنة الباقي الصيني لتجميع الحلول.

STEP 3

حل المعادلة $13x \equiv 2 \pmod{2}$.
بما أن $13 \equiv 1 \pmod{2}$، فإن المعادلة تصبح:
$$1x \equiv 2 \pmod{2}$$ وبما أن $2 \equiv 0 \pmod{2}$، فإن الحل هو:
$$x \equiv 0 \pmod{2}$$

STEP 4

حل المعادلة $13x \equiv 2 \pmod{3}$.
بما أن $13 \equiv 1 \pmod{3}$، فإن المعادلة تصبح:
$$1x \equiv 2 \pmod{3}$$ وبالتالي، الحل هو:
$$x \equiv 2 \pmod{3}$$

STEP 5

حل المعادلة $13x \equiv 2 \pmod{5}$.
بما أن $13 \equiv 3 \pmod{5}$، فإن المعادلة تصبح:
$$3x \equiv 2 \pmod{5}$$ نحتاج إلى إيجاد معكوس $3$ المودولو $5$، وهو $2$ لأن $3 \times 2 \equiv 1 \pmod{5}$.
اضرب كلا الجانبين في المعكوس:
$$2 \times 3x \equiv 2 \times 2 \pmod{5}$$ $$x \equiv 4 \pmod{5}$$

STEP 6

استخدام مبرهنة الباقي الصيني لتجميع الحلول.
لدينا الحلول:
$$\begin{array}{l} x \equiv 0 \pmod{2} \\ x \equiv 2 \pmod{3} \\ x \equiv 4 \pmod{5} \end{array}$$ نستخدم مبرهنة الباقي الصيني للحصول على الحل النهائي.

STEP 7

نبدأ بحل المعادلتين الأوليين:
$$x \equiv 0 \pmod{2}$$ $$x \equiv 2 \pmod{3}$$ نبحث عن $x$ الذي يحقق:
$$x = 2k$$ $$2k \equiv 2 \pmod{3}$$ نجد أن $k \equiv 1 \pmod{3}$، وبالتالي:
$$x \equiv 2 \pmod{6}$$

نحل الآن مع المعادلة الثالثة:
$$x \equiv 2 \pmod{6}$$ $$x \equiv 4 \pmod{5}$$ نبحث عن $x$ الذي يحقق:
$$x = 6m + 2$$ $$6m + 2 \equiv 4 \pmod{5}$$ نجد أن $m \equiv 2 \pmod{5}$، وبالتالي:
$$x \equiv 17 \pmod{30}$$ الحل النهائي هو:
$$x \equiv 17 \pmod{30}$$