Studdy AI Logo
Math  /  Numbers & Operations

QuestionQ22 Solve the linear congruence 13x≡2( mod 2⋅3.5)13 x \equiv 2(\bmod 2 \cdot 3.5) by solving the system 13x≡2( mod 2)13x≡2( mod 3)13x≡2( mod 5)\begin{array}{l} 13 x \equiv 2(\bmod 2) \\ 13 x \equiv 2(\bmod 3) \\ 13 x \equiv 2(\bmod 5) \end{array}

Studdy Solution

STEP 1

1. نحتاج إلى حل التوافق الخطي 13x≡2(mod2⋅3⋅5)13x \equiv 2 \pmod{2 \cdot 3 \cdot 5}.
2. سنقوم بحل النظام التالي من المعادلات: $ \begin{array}{l} 13x \equiv 2 \pmod{2} \\ 13x \equiv 2 \pmod{3} \\ 13x \equiv 2 \pmod{5} \end{array} \]
3. سنستخدم مبرهنة الباقي الصيني لحل النظام.

STEP 2

1. حل كل معادلة توافقية على حدة.
2. استخدام مبرهنة الباقي الصيني لتجميع الحلول.

STEP 3

حل المعادلة 13x≡2(mod2)13x \equiv 2 \pmod{2}.
بما أن 13≡1(mod2)13 \equiv 1 \pmod{2}، فإن المعادلة تصبح:
1x≡2(mod2) 1x \equiv 2 \pmod{2}
وبما أن 2≡0(mod2)2 \equiv 0 \pmod{2}، فإن الحل هو:
x≡0(mod2) x \equiv 0 \pmod{2}

STEP 4

حل المعادلة 13x≡2(mod3)13x \equiv 2 \pmod{3}.
بما أن 13≡1(mod3)13 \equiv 1 \pmod{3}، فإن المعادلة تصبح:
1x≡2(mod3) 1x \equiv 2 \pmod{3}
وبالتالي، الحل هو:
x≡2(mod3) x \equiv 2 \pmod{3}

STEP 5

حل المعادلة 13x≡2(mod5)13x \equiv 2 \pmod{5}.
بما أن 13≡3(mod5)13 \equiv 3 \pmod{5}، فإن المعادلة تصبح:
3x≡2(mod5) 3x \equiv 2 \pmod{5}
نحتاج إلى إيجاد معكوس 33 المودولو 55، وهو 22 لأن 3×2≡1(mod5)3 \times 2 \equiv 1 \pmod{5}.
اضرب كلا الجانبين في المعكوس:
2×3x≡2×2(mod5) 2 \times 3x \equiv 2 \times 2 \pmod{5} x≡4(mod5) x \equiv 4 \pmod{5}

STEP 6

استخدام مبرهنة الباقي الصيني لتجميع الحلول.
لدينا الحلول:
x≡0(mod2)x≡2(mod3)x≡4(mod5)\begin{array}{l} x \equiv 0 \pmod{2} \\ x \equiv 2 \pmod{3} \\ x \equiv 4 \pmod{5} \end{array}
نستخدم مبرهنة الباقي الصيني للحصول على الحل النهائي.

STEP 7

نبدأ بحل المعادلتين الأوليين:
x≡0(mod2) x \equiv 0 \pmod{2} x≡2(mod3) x \equiv 2 \pmod{3}
نبحث عن xx الذي يحقق:
x=2k x = 2k 2k≡2(mod3) 2k \equiv 2 \pmod{3}
نجد أن k≡1(mod3)k \equiv 1 \pmod{3}، وبالتالي:
x≡2(mod6) x \equiv 2 \pmod{6}

STEP 8

نحل الآن مع المعادلة الثالثة:
x≡2(mod6) x \equiv 2 \pmod{6} x≡4(mod5) x \equiv 4 \pmod{5}
نبحث عن xx الذي يحقق:
x=6m+2 x = 6m + 2 6m+2≡4(mod5) 6m + 2 \equiv 4 \pmod{5}
نجد أن m≡2(mod5)m \equiv 2 \pmod{5}، وبالتالي:
x≡17(mod30) x \equiv 17 \pmod{30}
الحل النهائي هو:
x≡17(mod30)x \equiv 17 \pmod{30}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord