Math  /  Geometry

QuestionQuestion 5 (12 points) Calculer le volume à l'intérieur du cylindre x2+y2=4yx^{2}+y^{2}=4 y au-dessus du pl z=0z=0 et sous la sphère x2+y2+z2=16x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.

Studdy Solution

STEP 1

1. Le cylindre est défini par l'équation x2+y2=4yx^{2}+y^{2}=4y.
2. La sphère est définie par l'équation x2+y2+z2=16x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
3. Le plan z=0z=0 est la limite inférieure du volume.

STEP 2

1. Convertir l'équation du cylindre en coordonnées polaires.
2. Déterminer les bornes d'intégration pour zz en utilisant l'équation de la sphère.
3. Établir l'intégrale triple pour calculer le volume.
4. Calculer l'intégrale pour obtenir le volume.

STEP 3

Convertir l'équation du cylindre en coordonnées polaires.
L'équation du cylindre est x2+y2=4yx^{2}+y^{2}=4y. En coordonnées polaires, cela devient:
r2=4rsinθ r^{2} = 4r\sin\theta
Simplifier pour obtenir:
r=4sinθ r = 4\sin\theta

STEP 4

Déterminer les bornes d'intégration pour zz en utilisant l'équation de la sphère.
L'équation de la sphère est x2+y2+z2=16x^{2}+y^{2}+z^{2}=16. En coordonnées polaires, cela devient:
r2+z2=16 r^{2} + z^{2} = 16
Donc, pour zz, nous avons:
z=16r2 z = \sqrt{16 - r^{2}}
Les bornes pour zz sont de 00 à 16r2\sqrt{16 - r^{2}}.

STEP 5

Établir l'intégrale triple pour calculer le volume.
L'intégrale triple en coordonnées cylindriques est:
V=θ=0πr=04sinθz=016r2rdzdrdθ V = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{4\sin\theta} \int_{z=0}^{\sqrt{16-r^{2}}} r \, dz \, dr \, d\theta

STEP 6

Calculer l'intégrale pour obtenir le volume.
Calculons l'intégrale:
V=θ=0πr=04sinθ[r(16r2)]drdθ V = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{4\sin\theta} \left[ r \cdot \left( \sqrt{16-r^{2}} \right) \right] \, dr \, d\theta
Effectuer les intégrations successives pour obtenir le volume total.
La solution finale pour le volume est obtenue après le calcul des intégrales.

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