Math / Geometry

QuestionREALTA E MODELLI Fari nel buio La figura rappresenta, in modo semplificato, la sezione di un faro di automobile: la superficie riflettente ha la forma di una parabola nel cui fuoco $F$ si trova il filamento della lampadina. I raggi emessi dal punto $F$ vengono riflessi in direzione parallela all'asse di simmetria della parabola. Utilizzando le misure indicate: a. determina l'equazione della parabola nel riferimento $\mathrm{O} x y$ ; b. ricava la distanza FO. $\left[\right.$ a) $x=-\frac{1}{48} y^{2} ;$ b) FO $\left.=12 \mathrm{~cm}\right]$

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo problema? Dobbiamo trovare l'equazione di una parabola che rappresenta la sezione di un faro di un'automobile e la distanza tra il fuoco $F$ e il vertice $O$ della parabola. Attenzione! Ricorda che l'equazione di una parabola con asse di simmetria orizzontale è della forma $x = ay^2$ , e il segno di $a$ determina la direzione dell'apertura.
Non confondere le coordinate del fuoco!

STEP 2

1. Trovare l'equazione della parabola
2. Calcolare la distanza FO

STEP 3

Sappiamo che la parabola ha il vertice nell'origine $O(0,0)$ e l'asse di simmetria orizzontale.
Quindi, la sua equazione sarà della forma $x = ay^2$ .
Il nostro obiettivo è trovare il valore di $a$ .

STEP 4

Dal disegno, vediamo che la parabola passa per il punto $P(-12,24)$ . Sostituiamo queste coordinate nell'equazione $x = ay^2$ per trovare $a$ : $-12 = a \cdot (24)^2$ $-12 = a \cdot 576$

STEP 5

Dividiamo entrambi i membri per 576 per isolare $a$ : $a = \frac{-12}{576}$ $a = -\frac{1}{48}$

STEP 6

Sostituiamo il valore di $a$ nell'equazione generale della parabola: $x = -\frac{1}{48}y^2$ Questa è l'equazione della nostra parabola!

STEP 7

Ricordiamo che per una parabola della forma $x = ay^2$ , la coordinata $x$ del fuoco $F$ è data da $x_F = \frac{1}{4a}$ . Sostituiamo il valore di $a$ che abbiamo trovato prima: $x_F = \frac{1}{4 \cdot (-\frac{1}{48})}$

STEP 8

Semplifichiamo l'espressione: $x_F = \frac{1}{-\frac{1}{12}}$ $x_F = -12$

STEP 9

Quindi, le coordinate del fuoco $F$ sono $(-12, 0)$ .
Poiché il vertice $O$ è nell'origine $(0,0)$ , la distanza $FO$ è semplicemente il valore assoluto della coordinata $x$ di $F$ : $FO = |-12| = 12$

STEP 10

a) L'equazione della parabola è $x = -\frac{1}{48}y^2$ . b) La distanza $FO$ è 12 cm.

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STEP 1

STEP 2

1. Trovare l'equazione della parabola
2. Calcolare la distanza FO

STEP 3

Sappiamo che la parabola ha il vertice nell'origine $O(0,0)$ e l'asse di simmetria orizzontale.
Quindi, la sua equazione sarà della forma $x = ay^2$ .
Il nostro obiettivo è trovare il valore di $a$ .

STEP 4

Dal disegno, vediamo che la parabola passa per il punto $P(-12,24)$ . Sostituiamo queste coordinate nell'equazione $x = ay^2$ per trovare $a$ : $-12 = a \cdot (24)^2$ $-12 = a \cdot 576$

STEP 5

Dividiamo entrambi i membri per 576 per isolare $a$ : $a = \frac{-12}{576}$ $a = -\frac{1}{48}$

STEP 6

Sostituiamo il valore di $a$ nell'equazione generale della parabola: $x = -\frac{1}{48}y^2$ Questa è l'equazione della nostra parabola!

STEP 7

Ricordiamo che per una parabola della forma $x = ay^2$ , la coordinata $x$ del fuoco $F$ è data da $x_F = \frac{1}{4a}$ . Sostituiamo il valore di $a$ che abbiamo trovato prima: $x_F = \frac{1}{4 \cdot (-\frac{1}{48})}$

STEP 8

Semplifichiamo l'espressione: $x_F = \frac{1}{-\frac{1}{12}}$ $x_F = -12$

STEP 9

Quindi, le coordinate del fuoco $F$ sono $(-12, 0)$ .
Poiché il vertice $O$ è nell'origine $(0,0)$ , la distanza $FO$ è semplicemente il valore assoluto della coordinata $x$ di $F$ : $FO = |-12| = 12$

STEP 10

a) L'equazione della parabola è $x = -\frac{1}{48}y^2$ . b) La distanza $FO$ è 12 cm.

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STEP 1

STEP 2

1. Trovare l'equazione della parabola2. Calcolare la distanza FO

STEP 3

Sappiamo che la parabola ha il vertice nell'origine O(0,0)O(0,0)O(0,0) e l'asse di simmetria orizzontale.Quindi, la sua equazione sarà della forma x=ay2x = ay^2x=ay2.Il nostro obiettivo è **trovare il valore di** aaa.

STEP 4

Dal disegno, vediamo che la parabola passa per il punto P(−12,24)P(-12,24)P(−12,24). **Sostituiamo** queste coordinate nell'equazione x=ay2x = ay^2x=ay2 per trovare aaa: −12=a⋅(24)2-12 = a \cdot (24)^2−12=a⋅(24)2 −12=a⋅576-12 = a \cdot 576−12=a⋅576

STEP 5

**Dividiamo entrambi i membri per 576** per isolare aaa: a=−12576a = \frac{-12}{576}a=576−12​ a=−148a = -\frac{1}{48}a=−481​

STEP 6

**Sostituiamo** il valore di aaa nell'equazione generale della parabola: x=−148y2x = -\frac{1}{48}y^2x=−481​y2 Questa è l'equazione della nostra parabola!

STEP 7

Ricordiamo che per una parabola della forma x=ay2x = ay^2x=ay2, la coordinata xxx del fuoco FFF è data da xF=14ax_F = \frac{1}{4a}xF​=4a1​. **Sostituiamo** il valore di aaa che abbiamo trovato prima: xF=14⋅(−148)x_F = \frac{1}{4 \cdot (-\frac{1}{48})}xF​=4⋅(−481​)1​

STEP 8

**Semplifichiamo** l'espressione: xF=1−112x_F = \frac{1}{-\frac{1}{12}}xF​=−121​1​ xF=−12x_F = -12xF​=−12

STEP 9

Quindi, le coordinate del fuoco FFF sono (−12,0)(-12, 0)(−12,0).Poiché il vertice OOO è nell'origine (0,0)(0,0)(0,0), la distanza FOFOFO è semplicemente il valore assoluto della coordinata xxx di FFF: FO=∣−12∣=12FO = |-12| = 12FO=∣−12∣=12

STEP 10

a) L'equazione della parabola è x=−148y2x = -\frac{1}{48}y^2x=−481​y2. b) La distanza FOFOFO è 12 cm.

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1. Trovare l'equazione della parabola
2. Calcolare la distanza FO

Sappiamo che la parabola ha il vertice nell'origine $O(0,0)$ e l'asse di simmetria orizzontale.
Quindi, la sua equazione sarà della forma $x = ay^2$ .
Il nostro obiettivo è trovare il valore di $a$ .

Dal disegno, vediamo che la parabola passa per il punto $P(-12,24)$ . Sostituiamo queste coordinate nell'equazione $x = ay^2$ per trovare $a$ : $-12 = a \cdot (24)^2$ $-12 = a \cdot 576$

Dividiamo entrambi i membri per 576 per isolare $a$ : $a = \frac{-12}{576}$ $a = -\frac{1}{48}$

Sostituiamo il valore di $a$ nell'equazione generale della parabola: $x = -\frac{1}{48}y^2$ Questa è l'equazione della nostra parabola!

Ricordiamo che per una parabola della forma $x = ay^2$ , la coordinata $x$ del fuoco $F$ è data da $x_F = \frac{1}{4a}$ . Sostituiamo il valore di $a$ che abbiamo trovato prima: $x_F = \frac{1}{4 \cdot (-\frac{1}{48})}$

Semplifichiamo l'espressione: $x_F = \frac{1}{-\frac{1}{12}}$ $x_F = -12$

Quindi, le coordinate del fuoco $F$ sono $(-12, 0)$ .
Poiché il vertice $O$ è nell'origine $(0,0)$ , la distanza $FO$ è semplicemente il valore assoluto della coordinata $x$ di $F$ : $FO = |-12| = 12$

a) L'equazione della parabola è $x = -\frac{1}{48}y^2$ . b) La distanza $FO$ è 12 cm.