QuestionResuelve la inecuación $\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}<0$ y encuentra el intervalo solución.

Studdy Solution

STEP 1

Suposiciones1. La inecuación a resolver es $\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}<0$ . Necesitamos encontrar un intervalo solución para la inecuación

STEP 2

Primero, necesitamos combinar las fracciones en un solo término. Para hacer esto, encontramos un denominador común que es $x(x-1)$ .
$\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-(x-1)}{x(x-1)}$

STEP 3

implificamos el numerador.
$\frac{x-(x-1)}{x(x-1)}=\frac{1}{x(x-1)}$

STEP 4

Ahora, necesitamos encontrar los valores de $x$ para los cuales la fracción es indefinida. Estos valores son $x=0$ y $x=1$ .

STEP 5

Para resolver la inecuación, necesitamos considerar los intervalos definidos por los valores de $x$ que encontramos en el paso anterior. Estos intervalos son $(-\infty,0)$ , $(0,1)$ y $(1, +\infty)$ .

STEP 6

Para cada intervalo, seleccionamos un valor de $x$ y lo sustituimos en la inecuación para ver si se cumple la condición de ser menor que cero.
Para el intervalo $(-\infty,0)$ , seleccionamos $x=-1$ $\frac{1}{-1(-1-1)}=\frac{1}{-2}<0$ Por lo tanto, este intervalo es parte de la solución.

STEP 7

Para el intervalo $(0,1)$ , seleccionamos $x=0.5$ $\frac{1}{0.5(0.5-1)}=\frac{1}{-0.25}>0$ Por lo tanto, este intervalo no es parte de la solución.

STEP 8

Para el intervalo $(1, +\infty)$ , seleccionamos $x=2$ $\frac{1}{2(2-1)}=\frac{1}{2}>0$ Por lo tanto, este intervalo no es parte de la solución.

STEP 9

Por lo tanto, el intervalo solución para la inecuación es $(-\infty,)$ , que en notación de intervalos se escribe como $\langle- \infty ;\rangle$ .
La respuesta correcta es la opción a. $\langle- ;\rangle$ .

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