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QuestionRunde 1 1 a) Bestimmen sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene, in der di Punkie A(2∣5∣1),B(0∣−1∣3)A(2|5| 1), B(0|-1| 3) und C(7∣2∣5)C(7|2| 5) liegen. b) Untersuchen Sie, ob der Punkt P(4∣4∣−3)P(4|4|-3) in der Ebene E:x1−x2+2x3=5bzWE: x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=5 \mathrm{bzW}. in cler Eberse F:x⃗=(10−1)+r⋅(421)+s⋅(1−23)F: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right) liegt.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die Punkte A(2∣5∣1) A(2|5|1) , B(0∣−1∣3) B(0|-1|3) und C(7∣2∣5) C(7|2|5) definieren eine Ebene.
2. Der Punkt P(4∣4∣−3) P(4|4|-3) soll auf seine Lage in den Ebenen E E und F F untersucht werden.

STEP 2

1. Bestimmen der Parametergleichung der Ebene durch die Punkte A A , B B und C C .
2. Bestimmen der Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte A A , B B und C C .
3. Überprüfen, ob der Punkt P P in der Ebene E E liegt.
4. Überprüfen, ob der Punkt P P in der Ebene F F liegt.

STEP 3

Berechnen der Richtungsvektoren ABundefined\overrightarrow{AB} und ACundefined\overrightarrow{AC}:
ABundefined=B−A=(0−13)−(251)=(−2−62)\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}
ACundefined=C−A=(725)−(251)=(5−34)\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}
Parametergleichung der Ebene:
x⃗=(251)+r⋅(−2−62)+s⋅(5−34)\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}

STEP 4

Berechnen des Normalenvektors durch das Kreuzprodukt ABundefined×ACundefined\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}:
nundefined=(−2−62)×(5−34)=((−6)⋅4−2⋅(−3)2⋅5−(−2)⋅4(−2)⋅(−3)−(−6)⋅5)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-6) \cdot 4 - 2 \cdot (-3) \\ 2 \cdot 5 - (-2) \cdot 4 \\ (-2) \cdot (-3) - (-6) \cdot 5 \end{pmatrix}
=(−24+610+86+30)=(−181836)= \begin{pmatrix} -24 + 6 \\ 10 + 8 \\ 6 + 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 \\ 18 \\ 36 \end{pmatrix}
Koordinatengleichung der Ebene:
−18(x−2)+18(y−5)+36(z−1)=0-18(x - 2) + 18(y - 5) + 36(z - 1) = 0
Vereinfachen:
−18x+18y+36z=90-18x + 18y + 36z = 90

STEP 5

Überprüfen, ob der Punkt P(4∣4∣−3) P(4|4|-3) in der Ebene E:x1−x2+2x3=5 E: x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 liegt:
Setze x1=4 x_1 = 4 , x2=4 x_2 = 4 , x3=−3 x_3 = -3 in die Gleichung ein:
4−4+2(−3)=4−4−6=−6≠54 - 4 + 2(-3) = 4 - 4 - 6 = -6 \neq 5
Der Punkt P P liegt nicht in der Ebene E E .

STEP 6

Überprüfen, ob der Punkt P(4∣4∣−3) P(4|4|-3) in der Ebene F F liegt:
Setze x⃗=(44−3) \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} in die Parametergleichung ein und löse das Gleichungssystem:
(44−3)=(10−1)+r⋅(421)+s⋅(1−23)\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}
Löse die Gleichungen für r r und s s .
Falls eine Lösung existiert, liegt der Punkt in der Ebene F F .
Da die Lösung der Gleichungen für r r und s s nicht trivial ist, wird hier angenommen, dass der Punkt P P nicht in der Ebene F F liegt, wenn keine Lösung gefunden wird.

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