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QuestionSe define I(q)=7q211q+3\boldsymbol{I}(q)=7 q^{2}-11 q+3 como el ingreso de un producto y C(q)=7q+8\boldsymbol{C}(\boldsymbol{q})=7 q+8 como el costo de producirlo. a. Determine la utilidad del producto U(q)U(q) b. Calcule C(3)I(3)U(8)I(30)U(20)C(10)\cdot C(3) \cdot I(3) \cdot U(8) \cdot I(30) \cdot U(20) \cdot C(10) c. Determine los valores de q tales que U(q)=40U(q)=40 d. En que momento el ingreso es cero

Studdy Solution

STEP 1

1. La utilidad U(q)U(q) se define como la diferencia entre el ingreso I(q)I(q) y el costo C(q)C(q).
2. Para encontrar valores específicos de C(q)C(q), I(q)I(q) y U(q)U(q), se sustituye qq con los valores dados.
3. Para resolver U(q)=40U(q)=40, se resuelve una ecuación cuadrática.
4. Para determinar cuándo el ingreso es cero, se resuelve I(q)=0I(q) = 0.

STEP 2

1. Determine la utilidad del producto U(q)U(q).
2. Calcule los valores específicos de C(q)C(q), I(q)I(q) y U(q)U(q) para los valores de qq dados.
3. Determine los valores de qq tales que U(q)=40U(q) = 40.
4. Determine el valor de qq tal que I(q)=0I(q) = 0.

STEP 3

Determine la utilidad del producto U(q)U(q).
U(q)=I(q)C(q) U(q) = I(q) - C(q)

STEP 4

Sustituya las expresiones de I(q)I(q) y C(q)C(q) en U(q)U(q).
U(q)=(7q211q+3)(7q+8) U(q) = (7q^2 - 11q + 3) - (7q + 8)

STEP 5

Simplifique la expresión de U(q)U(q).
U(q)=7q211q+37q8=7q218q5 U(q) = 7q^2 - 11q + 3 - 7q - 8 = 7q^2 - 18q - 5

STEP 6

Calcule C(3)C(3) sustituyendo q=3q = 3 en C(q)C(q).
C(3)=7(3)+8=21+8=29 C(3) = 7(3) + 8 = 21 + 8 = 29

STEP 7

Calcule I(3)I(3) sustituyendo q=3q = 3 en I(q)I(q).
I(3)=7(3)211(3)+3=7(9)33+3=6333+3=33 I(3) = 7(3)^2 - 11(3) + 3 = 7(9) - 33 + 3 = 63 - 33 + 3 = 33

STEP 8

Calcule U(8)U(8) sustituyendo q=8q = 8 en U(q)U(q).
U(8)=7(8)218(8)5=7(64)1445=4481445=299 U(8) = 7(8)^2 - 18(8) - 5 = 7(64) - 144 - 5 = 448 - 144 - 5 = 299

STEP 9

Calcule I(30)I(30) sustituyendo q=30q = 30 en I(q)I(q).
I(30)=7(30)211(30)+3=7(900)330+3=6300330+3=5973 I(30) = 7(30)^2 - 11(30) + 3 = 7(900) - 330 + 3 = 6300 - 330 + 3 = 5973

STEP 10

Calcule U(20)U(20) sustituyendo q=20q = 20 en U(q)U(q).
U(20)=7(20)218(20)5=7(400)3605=28003605=2435 U(20) = 7(20)^2 - 18(20) - 5 = 7(400) - 360 - 5 = 2800 - 360 - 5 = 2435

STEP 11

Calcule C(10)C(10) sustituyendo q=10q = 10 en C(q)C(q).
C(10)=7(10)+8=70+8=78 C(10) = 7(10) + 8 = 70 + 8 = 78

STEP 12

Determine los valores de qq tales que U(q)=40U(q) = 40.
7q218q5=40 7q^2 - 18q - 5 = 40

STEP 13

Simplifique la ecuación cuadrática.
7q218q45=0 7q^2 - 18q - 45 = 0

STEP 14

Resuelva la ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática q=b±b24ac2aq = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, donde a=7a = 7, b=18b = -18, y c=45c = -45.
q=(18)±(18)24(7)(45)2(7)=18±324+126014=18±158414 q = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4(7)(-45)}}{2(7)} = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 1260}}{14} = \frac{18 \pm \sqrt{1584}}{14}

STEP 15

Simplifique la raíz cuadrada y resuelva para qq.
q=18±239614=18±229914=18±49914=9±2997 q = \frac{18 \pm 2\sqrt{396}}{14} = \frac{18 \pm 2 \cdot 2 \sqrt{99}}{14} = \frac{18 \pm 4 \sqrt{99}}{14} = \frac{9 \pm 2 \sqrt{99}}{7}

STEP 16

Los valores de qq tales que U(q)=40U(q) = 40 son:
q=9+2997yq=92997 q = \frac{9 + 2 \sqrt{99}}{7} \quad \text{y} \quad q = \frac{9 - 2 \sqrt{99}}{7}

STEP 17

Determine el valor de qq tal que I(q)=0I(q) = 0.
7q211q+3=0 7q^2 - 11q + 3 = 0

STEP 18

Resuelva la ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática q=b±b24ac2aq = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, donde a=7a = 7, b=11b = -11, y c=3c = 3.
q=(11)±(11)24(7)(3)2(7)=11±1218414=11±3714 q = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(7)(3)}}{2(7)} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 84}}{14} = \frac{11 \pm \sqrt{37}}{14}

STEP 19

Simplifique la raíz cuadrada y resuelva para qq.
q=11±3714 q = \frac{11 \pm \sqrt{37}}{14}

STEP 20

Los valores de qq tales que I(q)=0I(q) = 0 son:
q=11+3714yq=113714 q = \frac{11 + \sqrt{37}}{14} \quad \text{y} \quad q = \frac{11 - \sqrt{37}}{14}
Solución: a. U(q)=7q218q5U(q) = 7q^2 - 18q - 5
b. C(3)=29C(3) = 29, I(3)=33I(3) = 33, U(8)=299U(8) = 299, I(30)=5973I(30) = 5973, U(20)=2435U(20) = 2435, C(10)=78C(10) = 78
c. Los valores de qq tales que U(q)=40U(q) = 40 son 9+2997\frac{9 + 2 \sqrt{99}}{7} y 92997\frac{9 - 2 \sqrt{99}}{7}
d. Los valores de qq tales que I(q)=0I(q) = 0 son 11+3714\frac{11 + \sqrt{37}}{14} y 113714\frac{11 - \sqrt{37}}{14}

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