Math  /  Algebra

QuestionSoient les vecteurs suivants : U1undefined=A1i+A2j+A3k\overrightarrow{U_{1}}=A_{1} \vec{i}+A_{2} \vec{j}+A_{3} \vec{k} et U2undefined=B1i+B2j+B3k\quad \overrightarrow{U_{2}}=B_{1} \vec{i}+B_{2} \vec{j}+B_{3} \vec{k} 1) Calculer les produits scalaires : U1U2,U1U1,U2U2\vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{2}, \vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{1}, \vec{U}_{2} \cdot \vec{U}_{2},
On donne: V1=2ij+5k,V2=3i+1,5j7.5k,V3=5i+4j+k\vec{V}_{1}=2 \vec{i}-\vec{j}+5 \vec{k}, \vec{V}_{2}=-3 \vec{i}+1,5 \vec{j}-7.5 \vec{k}, \quad \vec{V}_{3}=-5 \vec{i}+4 \vec{j}+\vec{k} 2) Calculer V1V2\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2} et V1V2\vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2}; 3) Sans faire de représentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du vecteur V2\vec{V}_{2} par rapport à V1\vec{V}_{1}; 4) Calculer les produits suivants V1(V2V3)\vec{V}_{1} \cdot\left(\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}\right) et V1(V2V3)\vec{V}_{1} \wedge\left(\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}\right); 5) Déterminer la surface du triangle formé par les vecteurs V2\vec{V}_{2} et V3\vec{V}_{3}

Studdy Solution

STEP 1

1. Les vecteurs sont exprimés dans un espace tridimensionnel.
2. Les produits scalaires et vectoriels sont calculés selon les règles standard de l'algèbre vectorielle.
3. La surface du triangle formé par deux vecteurs peut être déterminée à partir du produit vectoriel.

STEP 2

1. Calculer les produits scalaires des vecteurs donnés.
2. Calculer le produit scalaire et le produit vectoriel de V1\vec{V}_{1} et V2\vec{V}_{2}.
3. Analyser la relation directionnelle entre V1\vec{V}_{1} et V2\vec{V}_{2}.
4. Calculer les produits mixtes et vectoriels impliquant V1\vec{V}_{1}, V2\vec{V}_{2}, et V3\vec{V}_{3}.
5. Calculer la surface du triangle formé par V2\vec{V}_{2} et V3\vec{V}_{3}.

STEP 3

Calculer le produit scalaire U1U2\vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{2}:
U1U2=A1B1+A2B2+A3B3 \vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{2} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3}
Calculer le produit scalaire U1U1\vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{1}:
U1U1=A12+A22+A32 \vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{1} = A_{1}^2 + A_{2}^2 + A_{3}^2
Calculer le produit scalaire U2U2\vec{U}_{2} \cdot \vec{U}_{2}:
U2U2=B12+B22+B32 \vec{U}_{2} \cdot \vec{U}_{2} = B_{1}^2 + B_{2}^2 + B_{3}^2

STEP 4

Calculer le produit scalaire V1V2\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2}:
V1V2=(2)(3)+(1)(1.5)+(5)(7.5) \vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2} = (2)(-3) + (-1)(1.5) + (5)(-7.5)
V1V2=61.537.5=45 \vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2} = -6 - 1.5 - 37.5 = -45
Calculer le produit vectoriel V1V2\vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2}:
V1V2=ijk21531.57.5\vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 5 \\ -3 & 1.5 & -7.5 \end{vmatrix}
\[ \vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2} = \vec{i}((-1)(-7.5) - (5)(1.5)) - \vec{j}((2)(-7.5) - (5)(-3)) + \vec{k}((2)(1.5) - (-1)(-3))$
\[ \vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2} = \vec{i}(7.5 - 7.5) - \vec{j}(-15 + 15) + \vec{k}(3 - 3)$
\[ \vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2} = \vec{0}$

STEP 5

Puisque V1V2=0\vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2} = \vec{0}, cela indique que V1\vec{V}_{1} et V2\vec{V}_{2} sont colinéaires. Ainsi, V2\vec{V}_{2} a la même direction que V1\vec{V}_{1} mais peut avoir un sens opposé ou identique.

STEP 6

Calculer V1(V2V3)\vec{V}_{1} \cdot (\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}):
Puisque V2V1=0\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{1} = \vec{0}, V2V3\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} sera aussi 0\vec{0} si V3\vec{V}_{3} est colinéaire avec V1\vec{V}_{1} et V2\vec{V}_{2}. Sinon, calculer comme suit:
V2V3=ijk31.57.5541\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 1.5 & -7.5 \\ -5 & 4 & 1 \end{vmatrix}
\[ \vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} = \vec{i}(1.5 \cdot 1 - (-7.5) \cdot 4) - \vec{j}((-3) \cdot 1 - (-7.5) \cdot (-5)) + \vec{k}((-3) \cdot 4 - 1.5 \cdot (-5))$
\[ \vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} = \vec{i}(1.5 + 30) - \vec{j}(-3 - 37.5) + \vec{k}(-12 + 7.5)$
\[ \vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} = \vec{i}(31.5) - \vec{j}(-40.5) + \vec{k}(-4.5)$
\[ \vec{V}_{1} \cdot (\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}) = 2 \cdot 31.5 + (-1) \cdot (-40.5) + 5 \cdot (-4.5)$
\[ \vec{V}_{1} \cdot (\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}) = 63 + 40.5 - 22.5 = 81$
Calculer V1(V2V3)\vec{V}_{1} \wedge (\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}) en utilisant l'identité du produit triple:
V1(V2V3)=(V1V3)V2(V1V2)V3\vec{V}_{1} \wedge (\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}) = (\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{3}) \vec{V}_{2} - (\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2}) \vec{V}_{3}

STEP 7

La surface du triangle formé par V2\vec{V}_{2} et V3\vec{V}_{3} est donnée par la moitié de la norme du produit vectoriel V2V3\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}:
\[ \text{Surface} = \frac{1}{2} \| \vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} \|$
Calculer la norme:
V2V3=(31.5)2+(40.5)2+(4.5)2\| \vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} \| = \sqrt{(31.5)^2 + (-40.5)^2 + (-4.5)^2}
V2V3=992.25+1640.25+20.25\| \vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} \| = \sqrt{992.25 + 1640.25 + 20.25}
V2V3=2652.75\| \vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3} \| = \sqrt{2652.75}
Surface=12×2652.7525.8\text{Surface} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2652.75} \approx 25.8
La solution complète est:
1) U1U2=A1B1+A2B2+A3B3\vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{2} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3}, U1U1=A12+A22+A32\vec{U}_{1} \cdot \vec{U}_{1} = A_{1}^2 + A_{2}^2 + A_{3}^2, U2U2=B12+B22+B32\vec{U}_{2} \cdot \vec{U}_{2} = B_{1}^2 + B_{2}^2 + B_{3}^2 2) V1V2=45\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2} = -45, V1V2=0\vec{V}_{1} \wedge \vec{V}_{2} = \vec{0} 3) V1\vec{V}_{1} et V2\vec{V}_{2} sont colinéaires 4) V1(V2V3)=81\vec{V}_{1} \cdot (\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}) = 81, V1(V2V3)\vec{V}_{1} \wedge (\vec{V}_{2} \wedge \vec{V}_{3}) est déterminé par l'identité du produit triple 5) Surface du triangle = 25.825.8

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