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STEP 1

1. Les vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un scalaire $k$ tel que $\vec{V} = k\vec{U}$.
2. Les vecteurs $\vec{P}$ et $\vec{Q}$ sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est égal à zéro.

STEP 2

1. Déterminer $y$ et $z$ pour que $\vec{U}$ et $\vec{V}$ soient colinéaires.
2. Déterminer $y$ pour que $\vec{P}$ et $\vec{Q}$ soient perpendiculaires.

STEP 3

Pour que les vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ soient colinéaires, il doit exister un scalaire $k$ tel que:
$$\vec{V} = k \vec{U}$$ Cela signifie:
$$8\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = k(2\vec{i} + 6\vec{k})$$ En comparant les composantes, nous avons:
$$8 = 2k$$ $$y = 0$$ $$z = 6k$$

STEP 4

Résolvons pour $k$ à partir de $8 = 2k$:
$$k = \frac{8}{2} = 4$$ Ensuite, substituons $k$ dans $z = 6k$:
$$z = 6 \times 4 = 24$$ Ainsi, $y = 0$ et $z = 24$.

STEP 5

Pour que les vecteurs $\vec{P}$ et $\vec{Q}$ soient perpendiculaires, leur produit scalaire doit être égal à zéro:
$$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}) \cdot (-2\vec{i} + y\vec{j} + 12\vec{k}) = 0$$ Calculons le produit scalaire:
$$3(-2) + (-4)y + 2(12) = 0$$

Simplifions l'équation:
$$-6 - 4y + 24 = 0$$ $$18 - 4y = 0$$ Résolvons pour $y$:
$$-4y = -18$$ $$y = \frac{-18}{-4} = \frac{9}{2}$$ La solution est donc $y = 0$, $z = 24$ pour la colinéarité, et $y = \frac{9}{2}$ pour la perpendicularité.