Question Determine market equilibrium, shortage, and quantity supplied/demanded for a product with $p_a(x) = 0.5x^2 + 2x + 4$ and $p_n(x) = -x^2 + 100$ .

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen
1. Die Angebotsfunktion ist $p_{a}(x)=0,5 x^{2}+2 x+4$
2. Die Nachfragefunktion ist $p_{n}(x)=-x^{2}+100$
3. $x$ ist die Menge des Produkts
4. $p_{a}(x)$ und $p_{n}(x)$ sind die Preise des Produkts auf dem Markt

STEP 2

Um die Sättigungsmenge zu bestimmen, setzen wir die Angebots- und Nachfragefunktionen gleich.
$0,5 x^{2}+2 x+4 = -x^{2}+100$

STEP 3

Wir lösen die Gleichung nach $x$ auf.
$1,5 x^{2}+2 x-96 = 0$

STEP 4

Wir verwenden die quadratische Formel, um $x$ zu finden.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

STEP 5

Wir setzen die Werte für $a$ , $b$ und $c$ in die quadratische Formel ein.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(1,5)(-96)}}{2(1,5)}$

STEP 6

Wir berechnen die Werte für $x$ .
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+576}}{3}$

STEP 7

Wir berechnen die Werte für $x$ weiter.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{580}}{3}$

STEP 8

Wir berechnen die Werte für $x$ weiter.
$x = \frac{-2 \pm 24,08318915758459}{3}$

STEP 9

Da $x$ eine Menge ist, kann sie nicht negativ sein. Daher nehmen wir nur die positive Lösung.
$x = \frac{-2 + 24,08318915758459}{3} = 7,361063052528196 \approx 7,36$
Die Sättigungsmenge beträgt also etwa 7,36 ME.

STEP 10

Um das Marktgleichgewicht zu berechnen, setzen wir $x$ in die Angebots- und Nachfragefunktionen ein.
$p_{a}(7,36) = 0,5 (7,36)^{2}+2 (7,36)+4$ $p_{n}(7,36) = -(7,36)^{2}+100$

STEP 11

Wir berechnen die Werte für $p_{a}(7,36)$ und $p_{n}(7,36)$ .
$p_{a}(7,36) = 0,5 (54,2496)+14,72+4 = 41,8448$ $p_{n}(7,36) = -(54,2496)+100 = 45,7504$
Das Marktgleichgewicht liegt also bei (7,36 ME|41,8448 GE/ME).

STEP 12

Um das Marktungleichgewicht beim Preis von 70 GE zu bestimmen, setzen wir $p_{a}(x) = 70$ und $p_{n}(x) = 70$ und lösen nach $x$ auf.
$0,5 x^{2}+2 x+4 = 70$ $-x^{2}+100 = 70$

STEP 13

Wir lösen die Gleichungen nach $x$ auf.
$0,5 x^{2}+2 x-66 = 0$ $-x^{2}+30 = 0$

STEP 14

Wir verwenden die quadratische Formel, um $x$ zu finden.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(0,5)(-66)}}{2(0,5)}$ $x = \sqrt{30}$

STEP 15

Wir berechnen die Werte für $x$ .
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+132}}{1}$ $x = \sqrt{30} = 5,477225575051661$

STEP 16

Da $x$ eine Menge ist, kann sie nicht negativ sein. Daher nehmen wir nur die positive Lösung.
$x = \frac{-2 + \sqrt{136}}{1} = 9,65685424949238$
Beim Preis von 70 GE gibt es also einen Angebotsüberhang von $9,66 - 5,48 = 4,18$ ME.

STEP 17

Um zu ermitteln, bei welchem Preis 6 ME angeboten werden, setzen wir $x = 6$ in die Angebotsfunktion ein.
$p_{a}(6) = 0,5 (6)^{2}+2 (6)+4$

STEP 18

Wir berechnen den Wert für $p_{a}(6)$ .
$p_{a}(6) = 0,5 (36)+12+4 = 34$
Bei einem Preis von 34 GE/ME werden also 6 ME angeboten.

STEP 19

Um die beim Preis von 19 GE/ME nachgefragte Menge zu bestimmen, setzen wir $p_{n}(x) = 19$ und lösen nach $x$ auf.
$-x^{2}+100 = 19$

STEP 20

Wir lösen die Gleichung nach $x$ auf.
$-x^{2} = 19-100$ $x^{2} = 81$

STEP 21

Wir berechnen den Wert für $x$ .
$x = \sqrt{81} = 9$
Beim Preis von 19 GE/ME wird also eine Menge von 9 ME nachgefragt.

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