Math  /  Algebra

QuestionThe partial work to simplify the expression 972\sqrt{972} is shown. Complete the work. 972=3=33=183\begin{aligned} \sqrt{972} & =\sqrt{\square} \cdot \sqrt{\square} \cdot \sqrt{3} \\ & =\square \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \\ & =18 \sqrt{3} \end{aligned}

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Necesitamos completar los espacios en blanco para simplificar la raíz cuadrada de 972972. ¡Cuidado! Recuerda que buscamos el mayor cuadrado perfecto que divide a 972972.
No te conformes con cualquier factor.

STEP 2

1. Descomponer en factores primos
2. Encontrar cuadrados perfectos
3. Simplificar la expresión

STEP 3

Vamos a **descomponer** 972972 en sus factores primos.
Podemos empezar dividiendo entre 22: 972=2486972 = 2 \cdot 486.
Luego, 486=2243486 = 2 \cdot 243.
Así que 972=22243972 = 2 \cdot 2 \cdot 243.

STEP 4

Ahora, 243243 es divisible entre 33: 243=381243 = 3 \cdot 81. ¡Genial! Tenemos 972=22381972 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 81.
Y 8181 es 3273 \cdot 27, que es 3393 \cdot 3 \cdot 9, que es 33333 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3.

STEP 5

¡Increíble! Hemos descompuesto completamente 972972 como 22333332 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3.
En otras palabras, 972=2235972 = 2^2 \cdot 3^5.

STEP 6

Buscamos **cuadrados perfectos** dentro de la descomposición en factores primos.
Vemos un 222^2 y podemos reescribir 353^5 como 323233^2 \cdot 3^2 \cdot 3.
Entonces, 972=2232323972 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3.

STEP 7

Podemos **reescribir** 972\sqrt{972} como 2232323\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3}.
Esto es igual a 2232323\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{3}.

STEP 8

Sabemos que 22=2\sqrt{2^2} = 2 y 32=3\sqrt{3^2} = 3.
Entonces, tenemos 23332 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}.

STEP 9

Finalmente, multiplicamos 2332 \cdot 3 \cdot 3 para obtener 1818.
Así que la expresión simplificada es 18318\sqrt{3}.

STEP 10

Los espacios en blanco son: 222^2, 323^2, 22 y 66.
La expresión simplificada es 18318\sqrt{3}.

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