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Math  /  Algebra

QuestionThe points (5,−3)(5,-3) and (−7,−6)(-7,-6) fall on a particular line. What is its equation in point-slope form?
Use one of the specified points in your equation. Write your answer using integers, proper fractions, and improper fractions. Simplify all fractions. □\square Submit

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Nos piden encontrar la ecuación de una recta, en la forma punto-pendiente, que pasa por dos puntos dados. ¡Cuidado! Recuerda que hay muchas maneras de escribir la ecuación de una recta en la forma punto-pendiente, dependiendo del punto que elijas. ¡No te preocupes si tu respuesta se ve diferente a la de un amigo!

STEP 2

1. Calcular la pendiente.
2. Escribir la ecuación.

STEP 3

La fórmula de la pendiente entre dos puntos (x1,y1)(x_1, y_1) y (x2,y2)(x_2, y_2) es: m=y2−y1x2−x1 m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} donde mm representa la **pendiente**.

STEP 4

En nuestro caso, tenemos los puntos (5,−3)(5, -3) y (−7,−6)(-7, -6).
Vamos a llamar al primer punto (x1,y1)(x_1, y_1) y al segundo punto (x2,y2)(x_2, y_2).
Entonces, x1=5x_1 = \mathbf{5}, y1=−3y_1 = \mathbf{-3}, x2=−7x_2 = \mathbf{-7}, y y2=−6y_2 = \mathbf{-6}.
Sustituyendo estos valores en la fórmula de la pendiente, obtenemos: m=−6−(−3)−7−5 m = \frac{-6 - (-3)}{-7 - 5}

STEP 5

¡Simplifiquemos la expresión!
Primero, en el numerador, tenemos −6−(−3)=−6+3=−3-6 - (-3) = -6 + 3 = \mathbf{-3}.
En el denominador, tenemos −7−5=−12-7 - 5 = \mathbf{-12}.
Entonces, la pendiente es: m=−3−12 m = \frac{-3}{-12} Dividiendo el numerador y el denominador por −3-3 (o multiplicando por −1/3−1/3\frac{-1/3}{-1/3}), obtenemos: m=−3⋅−13−12⋅−13=14 m = \frac{-3 \cdot \frac{-1}{3}}{-12 \cdot \frac{-1}{3}} = \frac{1}{4} ¡Así que la **pendiente** es m=14m = \frac{1}{4}!

STEP 6

La forma punto-pendiente de una recta es: y−y1=m(x−x1) y - y_1 = m(x - x_1) donde (x1,y1)(x_1, y_1) es un **punto** en la recta y mm es la **pendiente**.

STEP 7

Usando el punto (5,−3)(5, -3) y la pendiente m=14m = \frac{1}{4}, la ecuación de la recta es: y−(−3)=14(x−5) y - (-3) = \frac{1}{4}(x - 5) Simplificando un poco, tenemos: y+3=14(x−5) y + 3 = \frac{1}{4}(x - 5)

STEP 8

También podríamos usar el segundo punto (−7,−6)(-7, -6) y la misma pendiente m=14m = \frac{1}{4}.
La ecuación sería: y−(−6)=14(x−(−7)) y - (-6) = \frac{1}{4}(x - (-7)) Simplificando, obtenemos: y+6=14(x+7) y + 6 = \frac{1}{4}(x + 7) ¡Ambas ecuaciones representan la misma recta!

STEP 9

La ecuación de la recta en forma punto-pendiente, usando el punto (5,−3)(5, -3), es y+3=14(x−5)y + 3 = \frac{1}{4}(x - 5).
Usando el punto (−7,−6)(-7, -6), la ecuación es y+6=14(x+7)y + 6 = \frac{1}{4}(x + 7).

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