Question Find the value of the summation expression $\sum_{n=-4}^{4} 35 \cdot 6^{2 n}$ .

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen
1. Wir müssen die Summe der Reihe berechnen, die durch die gegebene Funktion definiert ist.

STEP 2

Die gegebene Summe ist eine geometrische Reihe. Die allgemeine Form einer geometrischen Reihe ist $a \cdot r^{n}$ , wobei $a$ der erste Term, $r$ das gemeinsame Verhältnis und $n$ der Index ist.
In unserer gegebenen Summe ist $a = 35 \cdot 6^{-8}$ , $r = 6^2$ und $n$ variiert von $-4$ bis $4$ .

STEP 3

Die Summe einer geometrischen Reihe kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
$S = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$
wobei $S$ die Summe der Reihe, $a$ der erste Term, $r$ das gemeinsame Verhältnis und $n$ die Anzahl der Terme ist.

STEP 4

In unserer gegebenen Summe haben wir 9 Terme (von $-4$ bis $4$ ), also ist $n = 9$ .

STEP 5

Setzen wir die Werte in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - (6^2)^9}{1 - 6^2}$

STEP 6

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:
$1 - (6^2)^9 = 1 - 6^{18}$

STEP 7

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{1 - 6^2}$

STEP 8

Berechnen Sie den Ausdruck im Nenner:
$1 - 6^2 = 1 - 36 = -35$

STEP 9

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-35}$

STEP 10

Die 35 im Zähler und Nenner kürzen sich weg:
$S = 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-1}$

STEP 11

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = -6^{-8} \cdot (1 - 6^{18})$

STEP 12

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:
$1 - 6^{18} = -6^{18} + 1$

STEP 13

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = -6^{-8} \cdot (-6^{18} + 1)$

STEP 14

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = 6^{10} - 6^{-8}$

STEP 15

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = 60466176 - 0.0000000152587890625$
Die Summe der gegebenen Reihe ist $S = 60466176 - 0.0000000152587890625$ .

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Question Find the value of the summation expression $\sum_{n=-4}^{4} 35 \cdot 6^{2 n}$ .

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STEP 1

Annahmen
1. Wir müssen die Summe der Reihe berechnen, die durch die gegebene Funktion definiert ist.

STEP 2

Die gegebene Summe ist eine geometrische Reihe. Die allgemeine Form einer geometrischen Reihe ist $a \cdot r^{n}$ , wobei $a$ der erste Term, $r$ das gemeinsame Verhältnis und $n$ der Index ist.
In unserer gegebenen Summe ist $a = 35 \cdot 6^{-8}$ , $r = 6^2$ und $n$ variiert von $-4$ bis $4$ .

STEP 3

Die Summe einer geometrischen Reihe kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
$S = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$
wobei $S$ die Summe der Reihe, $a$ der erste Term, $r$ das gemeinsame Verhältnis und $n$ die Anzahl der Terme ist.

STEP 4

In unserer gegebenen Summe haben wir 9 Terme (von $-4$ bis $4$ ), also ist $n = 9$ .

STEP 5

Setzen wir die Werte in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - (6^2)^9}{1 - 6^2}$

STEP 6

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:
$1 - (6^2)^9 = 1 - 6^{18}$

STEP 7

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{1 - 6^2}$

STEP 8

Berechnen Sie den Ausdruck im Nenner:
$1 - 6^2 = 1 - 36 = -35$

STEP 9

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-35}$

STEP 10

Die 35 im Zähler und Nenner kürzen sich weg:
$S = 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-1}$

STEP 11

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = -6^{-8} \cdot (1 - 6^{18})$

STEP 12

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:
$1 - 6^{18} = -6^{18} + 1$

STEP 13

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = -6^{-8} \cdot (-6^{18} + 1)$

STEP 14

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = 6^{10} - 6^{-8}$

STEP 15

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = 60466176 - 0.0000000152587890625$
Die Summe der gegebenen Reihe ist $S = 60466176 - 0.0000000152587890625$ .

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Question Find the value of the summation expression ∑n=−4435⋅62n\sum_{n=-4}^{4} 35 \cdot 6^{2 n}∑n=−44​35⋅62n.

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STEP 1

Annahmen1. Wir müssen die Summe der Reihe berechnen, die durch die gegebene Funktion definiert ist.

STEP 2

STEP 3

Die Summe einer geometrischen Reihe kann mit der folgenden Formel berechnet werden:S=a⋅1−rn1−rS = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}S=a⋅1−r1−rn​wobei SSS die Summe der Reihe, aaa der erste Term, rrr das gemeinsame Verhältnis und nnn die Anzahl der Terme ist.

STEP 4

In unserer gegebenen Summe haben wir 9 Terme (von −4-4−4 bis 444), also ist n=9n = 9n=9.

STEP 5

Setzen wir die Werte in die Formel ein:S=35⋅6−8⋅1−(62)91−62S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - (6^2)^9}{1 - 6^2}S=35⋅6−8⋅1−621−(62)9​

STEP 6

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:1−(62)9=1−6181 - (6^2)^9 = 1 - 6^{18}1−(62)9=1−618

STEP 7

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:S=35⋅6−8⋅1−6181−62S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{1 - 6^2}S=35⋅6−8⋅1−621−618​

STEP 8

Berechnen Sie den Ausdruck im Nenner:1−62=1−36=−351 - 6^2 = 1 - 36 = -351−62=1−36=−35

STEP 9

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:S=35⋅6−8⋅1−618−35S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-35}S=35⋅6−8⋅−351−618​

STEP 10

Die 35 im Zähler und Nenner kürzen sich weg:S=6−8⋅1−618−1S = 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-1}S=6−8⋅−11−618​

STEP 11

Berechnen Sie den Ausdruck:S=−6−8⋅(1−618)S = -6^{-8} \cdot (1 - 6^{18})S=−6−8⋅(1−618)

STEP 12

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:1−618=−618+11 - 6^{18} = -6^{18} + 11−618=−618+1

STEP 13

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:S=−6−8⋅(−618+1)S = -6^{-8} \cdot (-6^{18} + 1)S=−6−8⋅(−618+1)

STEP 14

Berechnen Sie den Ausdruck:S=610−6−8S = 6^{10} - 6^{-8}S=610−6−8

STEP 15

Berechnen Sie den Ausdruck:S=60466176−0.0000000152587890625S = 60466176 - 0.0000000152587890625S=60466176−0.0000000152587890625Die Summe der gegebenen Reihe ist S=60466176−0.0000000152587890625S = 60466176 - 0.0000000152587890625S=60466176−0.0000000152587890625.

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Annahmen
1. Wir müssen die Summe der Reihe berechnen, die durch die gegebene Funktion definiert ist.

Die Summe einer geometrischen Reihe kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
$S = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$
wobei $S$ die Summe der Reihe, $a$ der erste Term, $r$ das gemeinsame Verhältnis und $n$ die Anzahl der Terme ist.

In unserer gegebenen Summe haben wir 9 Terme (von $-4$ bis $4$ ), also ist $n = 9$ .

Setzen wir die Werte in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - (6^2)^9}{1 - 6^2}$

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:
$1 - (6^2)^9 = 1 - 6^{18}$

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{1 - 6^2}$

Berechnen Sie den Ausdruck im Nenner:
$1 - 6^2 = 1 - 36 = -35$

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = 35 \cdot 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-35}$

Die 35 im Zähler und Nenner kürzen sich weg:
$S = 6^{-8} \cdot \frac{1 - 6^{18}}{-1}$

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = -6^{-8} \cdot (1 - 6^{18})$

Berechnen Sie den Ausdruck in der Klammer:
$1 - 6^{18} = -6^{18} + 1$

Setzen Sie diesen Wert in die Formel ein:
$S = -6^{-8} \cdot (-6^{18} + 1)$

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = 6^{10} - 6^{-8}$

Berechnen Sie den Ausdruck:
$S = 60466176 - 0.0000000152587890625$
Die Summe der gegebenen Reihe ist $S = 60466176 - 0.0000000152587890625$ .