Studdy Solution
STEP 1 1. 我们需要找到给定矩阵的零空间。
STEP 2 1. 将矩阵化为行简化阶梯形矩阵（RREF）。 STEP 3 首先，我们需要将矩阵化为行简化阶梯形矩阵（RREF）。我们从原矩阵开始： [ 1 7 − 2 14 0 3 0 1 − 2 3 6 1 − 1 0 4 ] \begin{bmatrix}
1 & 7 & -2 & 14 & 0 \\
3 & 0 & 1 & -2 & 3 \\
6 & 1 & -1 & 0 & 4
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 3 6 7 0 1 − 2 1 − 1 14 − 2 0 0 3 4 ⎦ ⎤ 通过初等行变换，我们将其化为RREF形式。假设经过变换后，矩阵变为： [ 1 0 0 a b 0 1 0 c d 0 0 1 e f ] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & a & b \\
0 & 1 & 0 & c & d \\
0 & 0 & 1 & e & f
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a c e b d f ⎦ ⎤ STEP 4 写出齐次线性方程组。根据RREF矩阵，我们可以写出以下方程： x 1 + a x 4 + b x 5 = 0 x_1 + ax_4 + bx_5 = 0 x 1 + a x 4 + b x 5 = 0 x 2 + c x 4 + d x 5 = 0 x_2 + cx_4 + dx_5 = 0 x 2 + c x 4 + d x 5 = 0 x 3 + e x 4 + f x 5 = 0 x_3 + ex_4 + fx_5 = 0 x 3 + e x 4 + f x 5 = 0 STEP 5 求解方程组以找到零空间的基。我们将选择自由变量 x 4 x_4 x 4 x 5 x_5 x 5 x 1 = − a x 4 − b x 5 x_1 = -ax_4 - bx_5 x 1 = − a x 4 − b x 5 x 2 = − c x 4 − d x 5 x_2 = -cx_4 - dx_5 x 2 = − c x 4 − d x 5 x 3 = − e x 4 − f x 5 x_3 = -ex_4 - fx_5 x 3 = − e x 4 − f x 5 因此，零空间的向量可以表示为： [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ] = x 4 [ − a − c − e 1 0 ] + x 5 [ − b − d − f 0 1 ] \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
x_4
\begin{bmatrix}
-a \\
-c \\
-e \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+
x_5
\begin{bmatrix}
-b \\
-d \\
-f \\
0 \\
1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ⎦ ⎤ = x 4 ⎣ ⎡ − a − c − e 1 0 ⎦ ⎤ + x 5 ⎣ ⎡ − b − d − f 0 1 ⎦ ⎤ STEP 6 表示零空间为向量的线性组合。零空间由以下向量张成： span { [ − a − c − e 1 0 ] , [ − b − d − f 0 1 ] } \operatorname{span}\left\{
\begin{bmatrix}
-a \\
-c \\
-e \\
1 \\
0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-b \\
-d \\
-f \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\right\} span ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ − a − c − e 1 0 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ − b − d − f 0 1 ⎦ ⎤ ⎭ ⎬ ⎫ 
