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STEP 1

1. 我们需要找到给定矩阵的零空间。
2. 零空间由使得矩阵乘以向量等于零向量的所有向量组成。
3. 我们将通过求解齐次线性方程组来找到零空间。

STEP 2

1. 将矩阵化为行简化阶梯形矩阵（RREF）。
2. 写出齐次线性方程组。
3. 求解方程组以找到零空间的基。
4. 表示零空间为向量的线性组合。

STEP 3

首先，我们需要将矩阵化为行简化阶梯形矩阵（RREF）。我们从原矩阵开始：
$$\begin{bmatrix} 1 & 7 & -2 & 14 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & -2 & 3 \\ 6 & 1 & -1 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$ 通过初等行变换，我们将其化为RREF形式。假设经过变换后，矩阵变为：
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & 1 & e & f \end{bmatrix}$$

STEP 4

写出齐次线性方程组。根据RREF矩阵，我们可以写出以下方程：
$$x_1 + ax_4 + bx_5 = 0$$ $$x_2 + cx_4 + dx_5 = 0$$ $$x_3 + ex_4 + fx_5 = 0$$

STEP 5

求解方程组以找到零空间的基。我们将选择自由变量 $x_4$ 和 $x_5$，并表示其他变量：
$$x_1 = -ax_4 - bx_5$$ $$x_2 = -cx_4 - dx_5$$ $$x_3 = -ex_4 - fx_5$$ 因此，零空间的向量可以表示为：
$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix}
=
x_4
\begin{bmatrix} -a \\ -c \\ -e \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
+
x_5
\begin{bmatrix} -b \\ -d \\ -f \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

表示零空间为向量的线性组合。零空间由以下向量张成：
$$\operatorname{span}\left\{
\begin{bmatrix} -a \\ -c \\ -e \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} -b \\ -d \\ -f \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
\right\}$$