QuestionТочка $M$ - середина ребра $A A_{1}$ куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. a) Постройте сечение куба плоскостью $C_{1} D M$. 6) Найдите площадь сечения куба плоскостью $C_{1} D M$, если рёбра куба равны 2.

STEP 1

STEP 2

Определите координаты точек $C_1, D, M$.
Пусть куб расположен в декартовой системе координат так, что: - $A(0, 0, 0)$ - $B(2, 0, 0)$ - $C(2, 2, 0)$ - $D(0, 2, 0)$ - $A_1(0, 0, 2)$ - $B_1(2, 0, 2)$ - $C_1(2, 2, 2)$ - $D_1(0, 2, 2)$
Тогда: - $C_1(2, 2, 2)$ - $D(0, 2, 0)$ - $M(0, 0, 1)$ (так как $M$ - середина $A A_1$)

STEP 3

Постройте сечение куба плоскостью $C_1 D M$.
Плоскость $C_1 D M$ пересекает: - Ребро $C_1 C$ в точке $N$. - Ребро $D D_1$ в точке $P$.
Найдите координаты точек $N$ и $P$.
STEP_2.1: Найдите уравнение плоскости $C_1 D M$.
Используйте уравнение плоскости через три точки: \[ \begin{vmatrix} x - 2 & y - 2 & z - 2 \\ 2 - 0 & 2 - 2 & 2 - 0 \\ 0 - 0 & 2 - 0 & 0 - 1 \\ \end{vmatrix} = 0 $
Решите определитель: \[ (x - 2)(2 \times (-1)) - (y - 2)(2 \times 0) + (z - 2)(2 \times 2) = 0 $ \[ -2(x - 2) + 4(z - 2) = 0 $ \[ -2x + 4 + 4z - 8 = 0 $ \[ -2x + 4z - 4 = 0 $ \[ x = 2z - 2 $
STEP_2.2: Найдите координаты точек $N$ и $P$.
Для точки $N$ на ребре $C_1 C$: - $x = 2$ - $y = 2$ - Подставьте в уравнение плоскости: $2 = 2z - 2$ - $z = 2$
Точка $N(2, 2, 2)$.
Для точки $P$ на ребре $D D_1$: - $x = 0$ - $y = 2$ - Подставьте в уравнение плоскости: $0 = 2z - 2$ - $z = 1$
Точка $P(0, 2, 1)$.

STEP 4

Найдите площадь сечения.
Сечение — это треугольник $C_1, D, P$.
Используйте формулу площади треугольника через координаты: $S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$
Подставьте координаты: $S = \frac{1}{2} \left| 2(2 - 1) + 0(1 - 2) + 0(2 - 2) \right|$ $S = \frac{1}{2} \left| 2 \right| = 1$
Площадь сечения равна:
$$\boxed{1}$$