Math / Calculus

QuestionTrova i punti di massimo e di minimo della funzione $y = \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x$ e traccia il grafico.

Studdy Solution

STEP 1

1. La funzione $y = \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x$ è una combinazione lineare di funzioni trigonometriche.
2. I punti di massimo e minimo si trovano dove la derivata prima è zero.
3. La funzione può essere riscritta in una forma più semplice usando l'identità trigonometrica.

STEP 2

1. Riscrivere la funzione in una forma più semplice.
2. Calcolare la derivata prima della funzione.
3. Trovare i punti critici risolvendo l'equazione derivata uguale a zero.
4. Determinare la natura dei punti critici.
5. Tracciare il grafico della funzione.

STEP 3

Riscriviamo la funzione $y = \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x$ usando l'identità trigonometrica per combinarla in una singola funzione sinusoidale. Possiamo scrivere:
$y = A \sin(3x + \phi)$
dove $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ e $\tan(\phi) = \frac{b}{a}$ .
In questo caso, $a = 1$ e $b = \sqrt{3}$ .
Calcoliamo $A$ :
$A = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
Calcoliamo $\phi$ :
$\tan(\phi) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
Quindi, $\phi = \frac{\pi}{3}$ .
La funzione diventa:
$y = 2 \sin(3x + \frac{\pi}{3})$

STEP 4

Calcoliamo la derivata prima della funzione $y = 2 \sin(3x + \frac{\pi}{3})$ .
La derivata di $\sin(u)$ è $\cos(u) \cdot u'$ , quindi:
$y' = 2 \cdot 3 \cos(3x + \frac{\pi}{3}) = 6 \cos(3x + \frac{\pi}{3})$

STEP 5

Troviamo i punti critici risolvendo l'equazione derivata uguale a zero:
$6 \cos(3x + \frac{\pi}{3}) = 0$
$\cos(3x + \frac{\pi}{3}) = 0$
La funzione coseno è zero in $\frac{\pi}{2} + k\pi$ , dove $k$ è un intero.
Quindi:
$3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$
Risolviamo per $x$ :
$3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi$
$3x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k\pi$
$3x = \frac{\pi}{6} + k\pi$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}$

STEP 6

Determiniamo la natura dei punti critici usando la derivata seconda o valutando il segno della derivata prima attorno ai punti critici.
La derivata seconda è:
$y'' = -18 \sin(3x + \frac{\pi}{3})$
Valutiamo $y''$ nei punti critici per determinare se sono massimi o minimi.

STEP 7

Se $y'' < 0$ , il punto critico è un massimo. Se $y'' > 0$ , il punto critico è un minimo.
Calcoliamo per alcuni valori di $k$ per determinare la natura dei punti critici.

STEP 8

Tracciamo il grafico della funzione $y = 2 \sin(3x + \frac{\pi}{3})$ usando i punti di massimo e minimo trovati.
La funzione ha punti di massimo e minimo periodici con periodo $\frac{\pi}{3}$ .

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