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Math  /  Geometry

QuestionTrovare il centro e il raggio della circonferenza data da x2+y2+4x−6y+9=x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+9= 0 .

Studdy Solution

STEP 1

1. L'equazione data è quella di una circonferenza nel piano cartesiano.
2. L'equazione è nella forma generale di una circonferenza: x2+y2+Dx+Ey+F=0 x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 .

STEP 2

1. Riscrivere l'equazione nella forma canonica della circonferenza.
2. Identificare il centro della circonferenza.
3. Calcolare il raggio della circonferenza.

STEP 3

Riscrivere l'equazione nella forma canonica della circonferenza completando il quadrato.
L'equazione data è:
x2+y2+4x−6y+9=0 x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0
Per completare il quadrato, raggruppiamo i termini di x x e y y :
(x2+4x)+(y2−6y)=−9 (x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = -9
Completiamo il quadrato per i termini di x x :
x2+4x=(x+2)2−4 x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
Completiamo il quadrato per i termini di y y :
y2−6y=(y−3)2−9 y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
Sostituendo nell'equazione:
(x+2)2−4+(y−3)2−9=−9 (x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = -9
(x+2)2+(y−3)2=4 (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4

STEP 4

Identificare il centro della circonferenza dalla forma canonica (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
Dalla forma (x+2)2+(y−3)2=4(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4, il centro è:
(h,k)=(−2,3) (h, k) = (-2, 3)

STEP 5

Calcolare il raggio della circonferenza.
Dalla forma (x+2)2+(y−3)2=4(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4, il raggio r r è:
r=4=2 r = \sqrt{4} = 2
Il centro della circonferenza è (−2,3)(-2, 3) e il raggio è 22.

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