Math / Data & Statistics

QuestionÜbungsaufgaben: 1.
Berechnen Sie für folgende Spiele den Gewinn pro Spiel auf lange Sicht, d. h. den Erwartungswert des Gewinns, und beurteilen Sie, ob das Spiel fair ist. Geben Sie ggf. zusätzlich gesuchte Werte an, falls durch „?" verlangt. a)
Einsatz 2 €. \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline Auszahlung X & 0 & 1 & 2 \\ \hline $\mathrm{P}[\mathrm{X}=\mathrm{x}]$ & $\frac{1}{2}$ & & $\frac{1}{4}$ \\ \hline \end{tabular} b)
Einsatz 5 € \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline Auszahlung X & 1 & 12 & 23 \\ \hline $\mathrm{P}[\mathrm{X}=\mathrm{x}]$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{3}{8}$ & $\frac{1}{8}$ \\ \hline \end{tabular} c)
Einsatz 5 € \begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline Auszahlung & $?$ & $?$ & $?$ \\ \hline Gewinn X & -5 & 0 & 10 \\ \hline $\mathrm{P}[\mathrm{X}=\mathrm{x}]$ & 0,4 & 0,4 & 0,2 \\ \hline \end{tabular} d)
Einsatz ? € \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} \hline Auszahlung & 4 & 0 & 3 & 1 \\ \hline Gewinn X & 2 & & -2 & 1 & -1 \\ \hline $\mathrm{P}[\mathrm{X}=\mathrm{x}]$ & \multirow{2}{6}{} & \multicolumn{1}{c|}{ $\frac{1}{6}$ } & & 0 & \\ \hline \end{tabular}

Studdy Solution

STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir sollen den durchschnittlichen Gewinn pro Spiel berechnen und schauen, ob das Spiel fair ist. Vorsicht! Nicht vergessen, den Einsatz vom Gewinn abzuziehen, um den tatsächlichen Gewinn zu erhalten!
Ein fairer Einsatz ist gleich dem erwarteten Gewinn.

STEP 2

1. Wahrscheinlichkeiten bestimmen
2. Erwartungswert berechnen
3. Fairness beurteilen

STEP 3

In Teilaufgabe a) fehlt eine Wahrscheinlichkeit.
Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss, können wir die fehlende Wahrscheinlichkeit ganz einfach berechnen: $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ .
Die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von 1 beträgt also $\frac{1}{4}$ .

STEP 4

Der Erwartungswert ist der durchschnittliche Gewinn, den wir auf lange Sicht erwarten können.
Wir berechnen ihn, indem wir jede Auszahlung mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und dann alle diese Produkte addieren.

STEP 5

Erwartungswert: $0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ .
Der erwartete Gewinn beträgt also $\frac{3}{4}$ $\$$ .
Da der Einsatz 2 $\$$ beträgt, ist der durchschnittliche Gewinn pro Spiel $\frac{3}{4} - 2 = \frac{3}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{5}{4}$ $\$$ .

STEP 6

Erwartungswert: $1 \cdot \frac{1}{2} + 12 \cdot \frac{3}{8} + 23 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{36}{8} + \frac{23}{8} = \frac{63}{8}$ .
Mit einem Einsatz von 5 $\$$ ergibt sich ein durchschnittlicher Gewinn von $\frac{63}{8} - 5 = \frac{63}{8} - \frac{40}{8} = \frac{23}{8}$ $\$$ .

STEP 7

Erwartungswert: $(-5) \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}4 + 10 \cdot 0{,}2 = -2 + 0 + 2 = 0$ .
Der durchschnittliche Gewinn ist 0 $\$$ .

STEP 8

Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz ist.

STEP 9

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn $-\frac{5}{4}$ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von 2 $\$$ ist.

STEP 10

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn $\frac{23}{8}$ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von 5 $\$$ ist.

STEP 11

Das Spiel ist fair, da der durchschnittliche Gewinn 0 $\$$ beträgt.
Da der Einsatz 5 $\$$ ist, sind die Auszahlungen wohl 0, 5 und 15.

STEP 12

a) Durchschnittlicher Gewinn: $-\frac{5}{4}$ $\$$ , nicht fair. b) Durchschnittlicher Gewinn: $\frac{23}{8}$ $\$$ , nicht fair. c) Durchschnittlicher Gewinn: 0 $\$$ , fair.
Auszahlungen: 0, 5 und 15.

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STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir sollen den durchschnittlichen Gewinn pro Spiel berechnen und schauen, ob das Spiel fair ist. Vorsicht! Nicht vergessen, den Einsatz vom Gewinn abzuziehen, um den tatsächlichen Gewinn zu erhalten!
Ein fairer Einsatz ist gleich dem erwarteten Gewinn.

STEP 2

1. Wahrscheinlichkeiten bestimmen
2. Erwartungswert berechnen
3. Fairness beurteilen

STEP 3

STEP 4

Der Erwartungswert ist der durchschnittliche Gewinn, den wir auf lange Sicht erwarten können.
Wir berechnen ihn, indem wir jede Auszahlung mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und dann alle diese Produkte addieren.

STEP 5

STEP 6

Erwartungswert: $1 \cdot \frac{1}{2} + 12 \cdot \frac{3}{8} + 23 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{36}{8} + \frac{23}{8} = \frac{63}{8}$ .
Mit einem Einsatz von 5 $\$$ ergibt sich ein durchschnittlicher Gewinn von $\frac{63}{8} - 5 = \frac{63}{8} - \frac{40}{8} = \frac{23}{8}$ $\$$ .

STEP 7

Erwartungswert: $(-5) \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}4 + 10 \cdot 0{,}2 = -2 + 0 + 2 = 0$ .
Der durchschnittliche Gewinn ist 0 $\$$ .

STEP 8

Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz ist.

STEP 9

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn $-\frac{5}{4}$ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von 2 $\$$ ist.

STEP 10

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn $\frac{23}{8}$ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von 5 $\$$ ist.

STEP 11

Das Spiel ist fair, da der durchschnittliche Gewinn 0 $\$$ beträgt.
Da der Einsatz 5 $\$$ ist, sind die Auszahlungen wohl 0, 5 und 15.

STEP 12

a) Durchschnittlicher Gewinn: $-\frac{5}{4}$ $\$$ , nicht fair. b) Durchschnittlicher Gewinn: $\frac{23}{8}$ $\$$ , nicht fair. c) Durchschnittlicher Gewinn: 0 $\$$ , fair.
Auszahlungen: 0, 5 und 15.

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Was ist hier gefragt? Wir sollen den durchschnittlichen Gewinn pro Spiel berechnen und schauen, ob das Spiel fair ist. Vorsicht! Nicht vergessen, den Einsatz vom Gewinn abzuziehen, um den tatsächlichen Gewinn zu erhalten!Ein fairer Einsatz ist gleich dem erwarteten Gewinn.

STEP 2

1. Wahrscheinlichkeiten bestimmen2. Erwartungswert berechnen3. Fairness beurteilen

STEP 3

STEP 4

Der Erwartungswert ist der durchschnittliche Gewinn, den wir auf lange Sicht erwarten können.Wir berechnen ihn, indem wir jede Auszahlung mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und dann alle diese Produkte addieren.

STEP 5

STEP 6

STEP 7

Erwartungswert: (−5)⋅0,4+0⋅0,4+10⋅0,2=−2+0+2=0(-5) \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}4 + 10 \cdot 0{,}2 = -2 + 0 + 2 = 0(−5)⋅0,4+0⋅0,4+10⋅0,2=−2+0+2=0.Der durchschnittliche Gewinn ist **0** $\$$.

STEP 8

Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz ist.

STEP 9

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn −54-\frac{5}{4}−45​ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von **2** $\$$ ist.

STEP 10

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn 238\frac{23}{8}823​ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von **5** $\$$ ist.

STEP 11

Das Spiel ist fair, da der durchschnittliche Gewinn **0** $\$$ beträgt.Da der Einsatz **5** $\$$ ist, sind die Auszahlungen wohl 0, 5 und 15.

STEP 12

a) Durchschnittlicher Gewinn: −54-\frac{5}{4}−45​ $\$$, nicht fair. b) Durchschnittlicher Gewinn: 238\frac{23}{8}823​ $\$$, nicht fair. c) Durchschnittlicher Gewinn: **0** $\$$, fair.Auszahlungen: 0, 5 und 15.

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Was ist hier gefragt? Wir sollen den durchschnittlichen Gewinn pro Spiel berechnen und schauen, ob das Spiel fair ist. Vorsicht! Nicht vergessen, den Einsatz vom Gewinn abzuziehen, um den tatsächlichen Gewinn zu erhalten!
Ein fairer Einsatz ist gleich dem erwarteten Gewinn.

1. Wahrscheinlichkeiten bestimmen
2. Erwartungswert berechnen
3. Fairness beurteilen

Der Erwartungswert ist der durchschnittliche Gewinn, den wir auf lange Sicht erwarten können.
Wir berechnen ihn, indem wir jede Auszahlung mit ihrer Wahrscheinlichkeit multiplizieren und dann alle diese Produkte addieren.

Erwartungswert: $(-5) \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}4 + 10 \cdot 0{,}2 = -2 + 0 + 2 = 0$ .
Der durchschnittliche Gewinn ist 0 $\$$ .

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn $-\frac{5}{4}$ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von 2 $\$$ ist.

Das Spiel ist nicht fair, da der durchschnittliche Gewinn $\frac{23}{8}$ $\$$ beträgt, was nicht gleich dem Einsatz von 5 $\$$ ist.

Das Spiel ist fair, da der durchschnittliche Gewinn 0 $\$$ beträgt.
Da der Einsatz 5 $\$$ ist, sind die Auszahlungen wohl 0, 5 und 15.

a) Durchschnittlicher Gewinn: $-\frac{5}{4}$ $\$$ , nicht fair. b) Durchschnittlicher Gewinn: $\frac{23}{8}$ $\$$ , nicht fair. c) Durchschnittlicher Gewinn: 0 $\$$ , fair.
Auszahlungen: 0, 5 und 15.