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QuestionUtilizar el teorema de Pitágoras y una ecuación cuadrática para hallar las...
El cateto más largo de un triángulo rectángulo es 4 m más largo que el cateto más corto. La hipotenusa es 8 m más larga que el cateto más corto. Hallar las longitudes de los lados del triángulo. \begin{tabular}{|ll|} \hline Longltud del cateto más corto: & m\square \mathrm{m} \\ Longitud del cateto más largo: & m\square \mathrm{m} \\ Longltud de la hipotenusa: & m\square \mathrm{m} \\ \hline \end{tabular}

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Necesitamos encontrar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo cuánto más largos son los catetos y la hipotenusa con respecto al cateto más corto. ¡Cuidado! Recuerda que el teorema de Pitágoras solo funciona para triángulos rectángulos. ¡Y no confundas la hipotenusa con los catetos!

STEP 2

1. Definir las variables
2. Aplicar el teorema de Pitágoras
3. Resolver la ecuación cuadrática
4. Calcular las longitudes de los lados

STEP 3

Vamos a llamar xx a la longitud del cateto más corto. ¡Empezamos con una **variable**!
Como el cateto más largo es **4 m** más largo que el cateto más corto, su longitud será x+4x + 4.
Y la hipotenusa, que es **8 m** más larga que el cateto más corto, tendrá una longitud de x+8x + 8. ¡**Definir las variables** es súper importante para organizar nuestras ideas!

STEP 4

¡Ahora viene lo emocionante!
Recordemos el **teorema de Pitágoras**: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
En nuestro caso, esto se traduce en: (x+8)2=x2+(x+4)2(x + 8)^2 = x^2 + (x + 4)^2 ¡**Fórmula lista**!

STEP 5

Desarrollemos los cuadrados: x2+16x+64=x2+x2+8x+16x^2 + 16x + 64 = x^2 + x^2 + 8x + 16 ¡**Desarrollamos** para simplificar!

STEP 6

Ahora, vamos a **agrupar** todos los términos en un lado de la ecuación para obtener una ecuación cuadrática igualada a cero.
Restamos x2+16x+64x^2 + 16x + 64 a ambos lados de la ecuación: 0=x28x480 = x^2 - 8x - 48 ¡**Ecuación cuadrática lista** para ser resuelta!

STEP 7

Podemos **resolver** esta ecuación cuadrática usando la fórmula general.
Para una ecuación de la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, la fórmula general es: x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} En nuestra ecuación, a=1a = 1, b=8b = -8 y c=48c = -48. ¡**Sustituyamos** estos valores en la fórmula!

STEP 8

x=(8)±(8)241(48)21x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} x=8±64+1922x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} x=8±2562x = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2}x=8±162x = \frac{8 \pm 16}{2}¡**Calculamos** el valor de xx!

STEP 9

Esto nos da dos posibles soluciones: x=8+162=12x = \frac{8 + 16}{2} = 12 y x=8162=4x = \frac{8 - 16}{2} = -4.
Como estamos hablando de longitudes, descartamos la solución negativa.
Por lo tanto, x=12x = \textbf{12}. ¡El cateto más corto mide **12 m**!

STEP 10

Ya sabemos que el cateto más corto mide **12 m**.
El cateto más largo mide x+4x + 4, que es 12+4=16 m12 + 4 = \textbf{16 m}.
La hipotenusa mide x+8x + 8, que es 12+8=20 m12 + 8 = \textbf{20 m}. ¡**Problema resuelto**!

STEP 11

Cateto más corto: 12 m Cateto más largo: 16 m Hipotenusa: 20 m

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