Studdy AI Logo
Math  /  Algebra

Questionوجد معكوس المصفوفة A A=[203314125]A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]

Studdy Solution

STEP 1

1. المصفوفة A A هي مصفوفة مربعة 3×3 3 \times 3 .
2. يمكن إيجاد معكوس المصفوفة إذا كانت محدد المصفوفة غير صفر.

STEP 2

1. حساب محدد المصفوفة A A .
2. التحقق من أن المحدد غير صفر.
3. حساب المصفوفة المرافقة لـ A A .
4. حساب معكوس المصفوفة باستخدام المصفوفة المرافقة والمحدد.

STEP 3

لحساب محدد المصفوفة A A ، نستخدم صيغة المحدد للمصفوفة 3×3 3 \times 3 :
det(A)=2⋅(1⋅5−4⋅2)−0⋅(3⋅5−4⋅1)+3⋅(3⋅2−1⋅1)\text{det}(A) = 2 \cdot (1 \cdot 5 - 4 \cdot 2) - 0 \cdot (3 \cdot 5 - 4 \cdot 1) + 3 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1)

STEP 4

نحسب كل جزء من المحدد:
det(A)=2⋅(5−8)+3⋅(6−1)\text{det}(A) = 2 \cdot (5 - 8) + 3 \cdot (6 - 1) det(A)=2⋅(−3)+3⋅5\text{det}(A) = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 5 det(A)=−6+15\text{det}(A) = -6 + 15 det(A)=9\text{det}(A) = 9

STEP 5

بما أن المحدد 9≠0 9 \neq 0 ، فإن المصفوفة A A قابلة للعكس.

STEP 6

لحساب المصفوفة المرافقة، نحسب المصفوفة المتممة لكل عنصر في A A ونأخذ المصفوفة المرافقة:
المصفوفة المرافقة لـ A A هي: adj(A)=[1⋅5−4⋅2−(3⋅5−4⋅1)3⋅2−1⋅1−(0⋅5−3⋅2)2⋅5−3⋅1−(2⋅2−3⋅1)0⋅4−3⋅1−(2⋅4−3⋅3)2⋅1−0⋅3]\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2 & -(3 \cdot 5 - 4 \cdot 1) & 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ -(0 \cdot 5 - 3 \cdot 2) & 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 & -(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) \\ 0 \cdot 4 - 3 \cdot 1 & -(2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) & 2 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \end{array}\right]

STEP 7

نحسب كل عنصر في المصفوفة المرافقة:
adj(A)=[5−8−(15−4)6−1−(0−6)10−3−(4−3)0−3−(8−9)2−0]\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 5 - 8 & -(15 - 4) & 6 - 1 \\ -(0 - 6) & 10 - 3 & -(4 - 3) \\ 0 - 3 & -(8 - 9) & 2 - 0 \end{array}\right]
adj(A)=[−3−11567−1−312]\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} -3 & -11 & 5 \\ 6 & 7 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{array}\right]

STEP 8

لحساب معكوس المصفوفة A A ، نستخدم الصيغة:
A−1=1det(A)⋅adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)
A−1=19⋅[−3−11567−1−312]A^{-1} = \frac{1}{9} \cdot \left[\begin{array}{ccc} -3 & -11 & 5 \\ 6 & 7 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{array}\right]

STEP 9

نقسم كل عنصر في المصفوفة المرافقة على المحدد:
A−1=[−13−119592379−19−131929]A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{3} & -\frac{11}{9} & \frac{5}{9} \\ \frac{2}{3} & \frac{7}{9} & -\frac{1}{9} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \end{array}\right]
المعكوس للمصفوفة A A هو:
A−1=[−13−119592379−19−131929]A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{3} & -\frac{11}{9} & \frac{5}{9} \\ \frac{2}{3} & \frac{7}{9} & -\frac{1}{9} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \end{array}\right]

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord