Math / Algebra

QuestionWykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^{2}+b x+c$ jest parabola, do której należy punkt A(0;9). Prosta $x=5$ jest osią symetrii tej paraboli. Oblicz wartość wspófczynników lo i c. Zapisz obliczenia.

Studdy Solution

STEP 1

O co w tym chodzi? Musimy znaleźć wartości $b$ i $c$ w funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 + bx + c$ , wiedząc, że parabola przechodzi przez punkt A(0;9) i ma oś symetrii $x = 5$ . Uważaj! Pamiętaj, że punkt A(0;9) to punkt przecięcia paraboli z osią Y.
Oś symetrii paraboli jest powiązana ze współczynnikiem $b$ .

STEP 2

1. Wyznaczenie wartości $c$ .
2. Wyznaczenie wartości $b$ .

STEP 3

Wiemy, że punkt A(0;9) należy do paraboli.
Oznacza to, że gdy $x = 0$ , to $f(x) = 9$ . Podstawmy te wartości do wzoru funkcji: $f(0) = (0)^2 + b \cdot 0 + c = 9$

STEP 4

Uprośćmy to równanie: $0 + 0 + c = 9$ $c = 9$ Super! Znaleźliśmy wartość $c$ ! $c = \mathbf{9}$ .

STEP 5

Wiemy, że prosta $x = 5$ jest osią symetrii paraboli.
Wzór na oś symetrii paraboli to $x = -\frac{b}{2a}$ .
W naszym przypadku $a = 1$ , ponieważ wzór funkcji to $f(x) = x^2 + bx + c$ , a współczynnik przy $x^2$ to właśnie $a$ .

STEP 6

Podstawmy znane wartości do wzoru na oś symetrii: $5 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

STEP 7

Pomnóżmy obie strony równania przez 2: $5 \cdot 2 = -\frac{b}{2} \cdot 2$ $10 = -b$

STEP 8

Pomnóżmy obie strony równania przez -1, aby znaleźć wartość $b$ : $10 \cdot (-1) = -b \cdot (-1)$ $-10 = b$ Fantastycznie! Znaleźliśmy wartość $b$ ! $b = \mathbf{-10}$ .

STEP 9

Współczynniki funkcji kwadratowej wynoszą $b = -10$ i $c = 9$ .
Zatem wzór funkcji to $f(x) = x^2 - 10x + 9$ .

Was this helpful?

QuestionWykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^{2}+b x+c$ jest parabola, do której należy punkt A(0;9). Prosta $x=5$ jest osią symetrii tej paraboli. Oblicz wartość wspófczynników lo i c. Zapisz obliczenia.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Wyznaczenie wartości $c$ .
2. Wyznaczenie wartości $b$ .

STEP 3

Wiemy, że punkt A(0;9) należy do paraboli.
Oznacza to, że gdy $x = 0$ , to $f(x) = 9$ . Podstawmy te wartości do wzoru funkcji: $f(0) = (0)^2 + b \cdot 0 + c = 9$

STEP 4

Uprośćmy to równanie: $0 + 0 + c = 9$ $c = 9$ Super! Znaleźliśmy wartość $c$ ! $c = \mathbf{9}$ .

STEP 5

Wiemy, że prosta $x = 5$ jest osią symetrii paraboli.
Wzór na oś symetrii paraboli to $x = -\frac{b}{2a}$ .
W naszym przypadku $a = 1$ , ponieważ wzór funkcji to $f(x) = x^2 + bx + c$ , a współczynnik przy $x^2$ to właśnie $a$ .

STEP 6

Podstawmy znane wartości do wzoru na oś symetrii: $5 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

STEP 7

Pomnóżmy obie strony równania przez 2: $5 \cdot 2 = -\frac{b}{2} \cdot 2$ $10 = -b$

STEP 8

Pomnóżmy obie strony równania przez -1, aby znaleźć wartość $b$ : $10 \cdot (-1) = -b \cdot (-1)$ $-10 = b$ Fantastycznie! Znaleźliśmy wartość $b$ ! $b = \mathbf{-10}$ .

STEP 9

Współczynniki funkcji kwadratowej wynoszą $b = -10$ i $c = 9$ .
Zatem wzór funkcji to $f(x) = x^2 - 10x + 9$ .

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionWykresem funkcji kwadratowej fff określonej wzorem f(x)=x2+bx+cf(x)=x^{2}+b x+cf(x)=x2+bx+c jest parabola, do której należy punkt A(0;9). Prosta x=5x=5x=5 jest osią symetrii tej paraboli. Oblicz wartość wspófczynników lo i c. Zapisz obliczenia.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Wyznaczenie wartości ccc.2. Wyznaczenie wartości bbb.

STEP 3

Wiemy, że punkt A(0;9) należy do paraboli.Oznacza to, że gdy x=0x = 0x=0, to f(x)=9f(x) = 9f(x)=9. **Podstawmy** te wartości do wzoru funkcji: f(0)=(0)2+b⋅0+c=9 f(0) = (0)^2 + b \cdot 0 + c = 9 f(0)=(0)2+b⋅0+c=9

STEP 4

**Uprośćmy** to równanie: 0+0+c=9 0 + 0 + c = 9 0+0+c=9 c=9 c = 9 c=9**Super!** Znaleźliśmy wartość ccc! c=9c = \mathbf{9}c=9.

STEP 5

Wiemy, że prosta x=5x = 5x=5 jest osią symetrii paraboli.Wzór na oś symetrii paraboli to x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​.W naszym przypadku a=1a = 1a=1, ponieważ wzór funkcji to f(x)=x2+bx+cf(x) = x^2 + bx + cf(x)=x2+bx+c, a współczynnik przy x2x^2x2 to właśnie aaa.

STEP 6

**Podstawmy** znane wartości do wzoru na oś symetrii: 5=−b2⋅1 5 = -\frac{b}{2 \cdot 1} 5=−2⋅1b​

STEP 7

**Pomnóżmy** obie strony równania przez 2: 5⋅2=−b2⋅2 5 \cdot 2 = -\frac{b}{2} \cdot 2 5⋅2=−2b​⋅2 10=−b 10 = -b 10=−b

STEP 8

**Pomnóżmy** obie strony równania przez -1, aby znaleźć wartość bbb: 10⋅(−1)=−b⋅(−1) 10 \cdot (-1) = -b \cdot (-1) 10⋅(−1)=−b⋅(−1) −10=b -10 = b −10=b**Fantastycznie!** Znaleźliśmy wartość bbb! b=−10b = \mathbf{-10}b=−10.

STEP 9

Współczynniki funkcji kwadratowej wynoszą b=−10b = -10b=−10 i c=9c = 9c=9.Zatem wzór funkcji to f(x)=x2−10x+9f(x) = x^2 - 10x + 9f(x)=x2−10x+9.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionWykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^{2}+b x+c$ jest parabola, do której należy punkt A(0;9). Prosta $x=5$ jest osią symetrii tej paraboli. Oblicz wartość wspófczynników lo i c. Zapisz obliczenia.

1. Wyznaczenie wartości $c$ .
2. Wyznaczenie wartości $b$ .

Wiemy, że punkt A(0;9) należy do paraboli.
Oznacza to, że gdy $x = 0$ , to $f(x) = 9$ . Podstawmy te wartości do wzoru funkcji: $f(0) = (0)^2 + b \cdot 0 + c = 9$

Uprośćmy to równanie: $0 + 0 + c = 9$ $c = 9$ Super! Znaleźliśmy wartość $c$ ! $c = \mathbf{9}$ .

Wiemy, że prosta $x = 5$ jest osią symetrii paraboli.
Wzór na oś symetrii paraboli to $x = -\frac{b}{2a}$ .
W naszym przypadku $a = 1$ , ponieważ wzór funkcji to $f(x) = x^2 + bx + c$ , a współczynnik przy $x^2$ to właśnie $a$ .

Podstawmy znane wartości do wzoru na oś symetrii: $5 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$

Pomnóżmy obie strony równania przez 2: $5 \cdot 2 = -\frac{b}{2} \cdot 2$ $10 = -b$

Pomnóżmy obie strony równania przez -1, aby znaleźć wartość $b$ : $10 \cdot (-1) = -b \cdot (-1)$ $-10 = b$ Fantastycznie! Znaleźliśmy wartość $b$ ! $b = \mathbf{-10}$ .

Współczynniki funkcji kwadratowej wynoszą $b = -10$ i $c = 9$ .
Zatem wzór funkcji to $f(x) = x^2 - 10x + 9$ .