Math  /  Algebra

Questionx4(x1)x2>0\frac{x}{4(x-1)}-\frac{x}{2}>0

Studdy Solution

STEP 1

1. L'espressione è una disuguaglianza razionale.
2. Dobbiamo trovare il dominio della disuguaglianza e risolverla per x x .

STEP 2

1. Trovare il dominio della disuguaglianza.
2. Portare i termini a un denominatore comune.
3. Risolvere la disuguaglianza.
4. Verificare le soluzioni nel contesto del dominio.

STEP 3

Determinare il dominio della disuguaglianza. Il denominatore non può essere zero, quindi dobbiamo escludere i valori di x x che rendono zero il denominatore.
Il denominatore comune è 4(x1) 4(x-1) , quindi:
4(x1)0 4(x-1) \neq 0 x1 x \neq 1
Il dominio è quindi tutti i numeri reali tranne x=1 x = 1 .

STEP 4

Portare i termini a un denominatore comune. Il denominatore comune tra x4(x1) \frac{x}{4(x-1)} e x2 \frac{x}{2} è 4(x1) 4(x-1) .
Riscriviamo la disuguaglianza:
x4(x1)2x4(x1)>0 \frac{x}{4(x-1)} - \frac{2x}{4(x-1)} > 0

STEP 5

Combinare i termini:
x2x4(x1)>0 \frac{x - 2x}{4(x-1)} > 0 x4(x1)>0 \frac{-x}{4(x-1)} > 0

STEP 6

Risolvere la disuguaglianza. Poiché abbiamo x4(x1)>0\frac{-x}{4(x-1)} > 0, dobbiamo considerare i segni del numeratore e del denominatore.
1. Il numeratore x-x è positivo quando x<0x < 0.
2. Il denominatore 4(x1)4(x-1) è positivo quando x>1x > 1.

Combiniamo queste condizioni:
- x<0x < 0 (numeratore positivo) - x>1x > 1 (denominatore positivo)
Non ci sono valori di xx che soddisfano entrambe le condizioni contemporaneamente.

STEP 7

Verificare le soluzioni nel contesto del dominio. Dato che non ci sono valori di xx che soddisfano la disuguaglianza, la soluzione è l'insieme vuoto.
La soluzione è:
\emptyset

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