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STEP 1

1. L'espressione è una disuguaglianza razionale.
2. Dobbiamo trovare il dominio della disuguaglianza e risolverla per $x$.

STEP 2

1. Trovare il dominio della disuguaglianza.
2. Portare i termini a un denominatore comune.
3. Risolvere la disuguaglianza.
4. Verificare le soluzioni nel contesto del dominio.

STEP 3

Determinare il dominio della disuguaglianza. Il denominatore non può essere zero, quindi dobbiamo escludere i valori di $x$ che rendono zero il denominatore.
Il denominatore comune è $4(x-1)$, quindi:
$$4(x-1) \neq 0$$ $$x \neq 1$$ Il dominio è quindi tutti i numeri reali tranne $x = 1$.

STEP 4

Portare i termini a un denominatore comune. Il denominatore comune tra $\frac{x}{4(x-1)}$ e $\frac{x}{2}$ è $4(x-1)$.
Riscriviamo la disuguaglianza:
$$\frac{x}{4(x-1)} - \frac{2x}{4(x-1)} > 0$$

STEP 5

Combinare i termini:
$$\frac{x - 2x}{4(x-1)} > 0$$ $$\frac{-x}{4(x-1)} > 0$$

STEP 6

Risolvere la disuguaglianza. Poiché abbiamo $\frac{-x}{4(x-1)} > 0$, dobbiamo considerare i segni del numeratore e del denominatore.
1. Il numeratore $-x$ è positivo quando $x < 0$.
2. Il denominatore $4(x-1)$ è positivo quando $x > 1$.
Combiniamo queste condizioni:
- $x < 0$ (numeratore positivo)
- $x > 1$ (denominatore positivo)
Non ci sono valori di $x$ che soddisfano entrambe le condizioni contemporaneamente.

Verificare le soluzioni nel contesto del dominio. Dato che non ci sono valori di $x$ che soddisfano la disuguaglianza, la soluzione è l'insieme vuoto.
La soluzione è:
$$\emptyset$$