Question $\sqrt{x^{2}+4 x}-x-2$

Studdy Solution

STEP 1

1. L'expression $\sqrt{x^{2}+4x}-x-2$ implique des opérations sur les radicaux et les expressions algébriques.
2. La simplification de cette expression peut nécessiter une manipulation algébrique pour éliminer la racine carrée.
3. Il faut s'assurer que toutes les étapes de simplification sont valides pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression est définie.

STEP 2

1. Simplifier l'expression sous la racine carrée pour voir si elle peut être réécrite de manière plus simple.
2. Manipuler l'expression pour éliminer la racine carrée.
3. Simplifier l'expression résultante.
4. Vérifier les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression est définie.

STEP 3

Simplifions d'abord l'expression sous la racine carrée.
$\sqrt{x^{2}+4x}$
Nous cherchons à voir si cette expression peut être simplifiée en un carré parfait ou une autre forme plus simple.

STEP 4

Réécrivons $x^{2} + 4x$ en complétant le carré.
$x^{2} + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4$
Donc,
$\sqrt{x^{2}+4x} = \sqrt{(x+2)^2 - 4}$

STEP 5

Manipulons l'expression pour éliminer la racine carrée en utilisant la substitution $y = x+2$ .
$\sqrt{(x+2)^2 - 4} - x - 2$
Maintenant, puisque $y = x + 2$
$\sqrt{y^2 - 4} - (y - 2) - 2$

STEP 6

Simplifions l'expression résultante.
$\sqrt{y^2 - 4} - y + 2 - 2 = \sqrt{y^2 - 4} - y$

STEP 7

Regardons la simplification de $\sqrt{y^2 - 4} - y$ .
$\sqrt{y^2 - 4} - y$
Pour simplifier cette expression, considérons les valeurs possibles de $y$ telles que $y^2 - 4 \geq 0$ .

STEP 8

Pour simplifier $\sqrt{y^2 - 4} - y$ , nous pouvons réécrire $\sqrt{y^2 - 4}$ en utilisant une forme factorisée si possible.
$\sqrt{y^2 - 4} = \sqrt{(y-2)(y+2)}$
Cependant, $\sqrt{(y-2)(y+2)}$ ne simplifie pas facilement autrement que $\sqrt{y^2 - 4}$ .

STEP 9

Si nous essayons de simplifier l'expression de manière plus directe, nous devons vérifier les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression est définie. Pour $\sqrt{x^2 + 4x}$ , nous devons avoir $x^2 + 4x \geq 0$ .
$x(x + 4) \geq 0$
Cette inégalité est satisfaite pour $x \leq -4$ ou $x \geq 0$ .

STEP 10

Ainsi, l'expression $\sqrt{x^{2}+4x}-x-2$ est définie pour $x \leq -4$ ou $x \geq 0$ .

STEP 11

Avec ces simplifications et vérifications, nous pouvons conclure que l'expression $\sqrt{x^{2}+4x}-x-2$ ne peut pas être simplifiée davantage de manière significative sans plus d'informations spécifiques sur $x$ . La forme simplifiée nous donne:
$\sqrt{y^2 - 4} - y$
où $y = x+2$ et l'expression est définie pour $x \leq -4$ ou $x \geq 0$ .

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