Math  /  Calculus

Questiony2y=xexy^{\prime}-2 y=x e^{x} h(x)=(a+b)exh(x)=(a+b) e^{x} in (E) âlis | y(0)=10y(0)=10 ins

Studdy Solution

STEP 1

1. المعادلة التفاضلية المعطاة هي من الدرجة الأولى.
2. نحتاج إلى استخدام طريقة التكامل بالتجزئة لحل المعادلة.
3. لدينا شرط ابتدائي y(0)=10 y(0) = 10 .

STEP 2

1. حل المعادلة التفاضلية المتجانسة.
2. إيجاد الحل الخاص للمعادلة غير المتجانسة.
3. تطبيق الشرط الابتدائي لإيجاد الثوابت.

STEP 3

أولاً، نحل المعادلة التفاضلية المتجانسة المرتبطة:
y2y=0 y^{\prime} - 2y = 0
لحل هذه المعادلة، نستخدم طريقة فصل المتغيرات أو نلاحظ أن الحل يكون من الشكل:
yh=Ce2x y_h = Ce^{2x}
حيث C C ثابت.

STEP 4

نبحث الآن عن حل خاص للمعادلة غير المتجانسة. نستخدم طريقة المعاملات غير المعروفة. نفترض أن الحل الخاص يكون من الشكل:
yp=Axex+Bex y_p = Ax e^{x} + B e^{x}
نحسب المشتقة الأولى:
yp=Aex+Axex+Bex y_p^{\prime} = A e^{x} + Ax e^{x} + B e^{x}
نعوض في المعادلة الأصلية:
(Aex+Axex+Bex)2(Axex+Bex)=xex (A e^{x} + Ax e^{x} + B e^{x}) - 2(Ax e^{x} + B e^{x}) = x e^{x}
نبسط المعادلة:
Aex+Axex+Bex2Axex2Bex=xex A e^{x} + Ax e^{x} + B e^{x} - 2Ax e^{x} - 2B e^{x} = x e^{x}
(A2B)ex+(A2A)xex=xex (A - 2B) e^{x} + (A - 2A) x e^{x} = x e^{x}
نساوي المعاملات:
A2A=1 A - 2A = 1 A2B=0 A - 2B = 0
نحل المعادلات:
A=1A=1 -A = 1 \Rightarrow A = -1 12B=0B=12 -1 - 2B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{2}
إذن الحل الخاص هو:
yp=xex12ex y_p = -x e^{x} - \frac{1}{2} e^{x}

STEP 5

الحل العام للمعادلة هو مجموع الحل المتجانس والحل الخاص:
y=yh+yp=Ce2xxex12ex y = y_h + y_p = Ce^{2x} - x e^{x} - \frac{1}{2} e^{x}
نطبق الشرط الابتدائي y(0)=10 y(0) = 10 :
y(0)=Ce0012e0=10 y(0) = C e^{0} - 0 - \frac{1}{2} e^{0} = 10
C12=10 C - \frac{1}{2} = 10
C=10+12=212 C = 10 + \frac{1}{2} = \frac{21}{2}
إذن الحل النهائي هو:
y=212e2xxex12ex y = \frac{21}{2} e^{2x} - x e^{x} - \frac{1}{2} e^{x}
الحل النهائي هو:
y=212e2xxex12ex y = \frac{21}{2} e^{2x} - x e^{x} - \frac{1}{2} e^{x}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord