Question $2 \times 100^{x}-5 \times 10^{x}+2=0$

Studdy Solution

STEP 1

1. المعادلة $2 \times 100^{x}-5 \times 10^{x}+2=0$ هي معادلة أسية.
2. سنحتاج إلى إعادة كتابة الحدود باستخدام نفس الأساس لتسهيل الحل.

STEP 2

1. إعادة كتابة الحدود باستخدام نفس الأساس.
2. تحويل المعادلة إلى معادلة تربيعية.
3. حل المعادلة التربيعية لإيجاد $x$ .

STEP 3

نبدأ بإعادة كتابة $100^x$ كقوة لـ $10$ . نعلم أن $100 = 10^2$ ، لذا يمكننا كتابة:
$100^x = (10^2)^x = 10^{2x}$
وبذلك تصبح المعادلة:
$2 \times 10^{2x} - 5 \times 10^x + 2 = 0$

STEP 4

الآن، لنقم بتعيين $y = 10^x$ . هذا يجعل $10^{2x} = (10^x)^2 = y^2$ . الآن يمكننا إعادة كتابة المعادلة كالتالي:
$2y^2 - 5y + 2 = 0$

STEP 5

الآن سنقوم بحل المعادلة التربيعية $2y^2 - 5y + 2 = 0$ باستخدام صيغة الجذور للمعادلة التربيعية:
$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
حيث $a = 2$ ، $b = -5$ ، و $c = 2$ .
$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2}$ $y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$ $y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}$ $y = \frac{5 \pm 3}{4}$

STEP 6

نحسب الحلول:
$y = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$ $y = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

STEP 7

الآن نعود إلى المتغير الأصلي $x$ باستخدام $y = 10^x$ :
1. إذا كان $y = 2$ ، فإن $10^x = 2$ ، وبالتالي $x = \log_{10}(2)$ .
2. إذا كان $y = \frac{1}{2}$ ، فإن $10^x = \frac{1}{2}$ ، وبالتالي $x = \log_{10}(\frac{1}{2})$ .
الحلول لـ $x$ هي:
$x = \log_{10}(2) \quad \text{أو} \quad x = \log_{10}(\frac{1}{2})$

Was this helpful?

Get Studdy

Scan QR code with your device to get Studdy on iOS or Android

QR code

Studdy solves anything!

Download the app

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Parents Influencer program Contact Policy Terms