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Math  /  Calculus

Question∫16−x2xdx\int \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{x} d x

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están pidiendo? Calcular la integral indefinida de una función que involucra una raíz cuadrada y una variable en el denominador. ¡Cuidado! No olvides la constante de integración al final, ¡y asegúrate de simplificar el resultado tanto como sea posible!

STEP 2

1. Sustitución trigonométrica
2. Simplificación y cálculo
3. Sustitución inversa

STEP 3

**¡Hagamos una sustitución trigonométrica!** Vamos a usar x=4sin⁡(θ)x = 4\sin(\theta). ¿Por qué? ¡Porque se parece mucho a la identidad trigonométrica sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1!
Con esta sustitución, dx=4cos⁡(θ)dθdx = 4\cos(\theta)d\theta.

STEP 4

**¡Reemplacemos!** Nuestra integral se convierte en: ∫16−(4sin⁡(θ))24sin⁡(θ)⋅4cos⁡(θ)dθ \int \frac{\sqrt{16 - (4\sin(\theta))^2}}{4\sin(\theta)} \cdot 4\cos(\theta)d\theta

STEP 5

**¡Simplifiquemos!** Dentro de la raíz cuadrada, tenemos 16−16sin⁡2(θ)=16(1−sin⁡2(θ))16 - 16\sin^2(\theta) = 16(1-\sin^2(\theta)). ¡Recordando la identidad trigonométrica, 1−sin⁡2(θ)=cos⁡2(θ)1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)!

STEP 6

**¡Más simplificación!** Nuestra integral se convierte en: ∫16cos⁡2(θ)4sin⁡(θ)⋅4cos⁡(θ)dθ=∫4cos⁡(θ)4sin⁡(θ)⋅4cos⁡(θ)dθ=∫4cos⁡2(θ)sin⁡(θ)dθ \int \frac{\sqrt{16\cos^2(\theta)}}{4\sin(\theta)} \cdot 4\cos(\theta)d\theta = \int \frac{4\cos(\theta)}{4\sin(\theta)} \cdot 4\cos(\theta)d\theta = \int \frac{4\cos^2(\theta)}{\sin(\theta)}d\theta

STEP 7

**¡Usemos otra identidad!** Recordemos que cos⁡2(θ)=1−sin⁡2(θ)\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta).
Sustituyendo, obtenemos: ∫4(1−sin⁡2(θ))sin⁡(θ)dθ=4∫(1sin⁡(θ)−sin⁡2(θ)sin⁡(θ))dθ=4∫(csc⁡(θ)−sin⁡(θ))dθ \int \frac{4(1 - \sin^2(\theta))}{\sin(\theta)}d\theta = 4\int \left(\frac{1}{\sin(\theta)} - \frac{\sin^2(\theta)}{\sin(\theta)}\right)d\theta = 4\int (\csc(\theta) - \sin(\theta))d\theta

STEP 8

**¡Integremos!** Sabemos que ∫csc⁡(θ)dθ=−ln⁡∣csc⁡(θ)+cot⁡(θ)∣\int \csc(\theta)d\theta = -\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| y ∫sin⁡(θ)dθ=−cos⁡(θ)\int \sin(\theta)d\theta = -\cos(\theta).
Entonces: 4∫(csc⁡(θ)−sin⁡(θ))dθ=4(−ln⁡∣csc⁡(θ)+cot⁡(θ)∣+cos⁡(θ))+C 4\int (\csc(\theta) - \sin(\theta))d\theta = 4(-\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| + \cos(\theta)) + C

STEP 9

**¡Volvamos a xx!** Como x=4sin⁡(θ)x = 4\sin(\theta), entonces sin⁡(θ)=x4\sin(\theta) = \frac{x}{4}.
Podemos dibujar un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto a θ\theta es xx y la hipotenusa es 44.
El cateto adyacente será 16−x2\sqrt{16-x^2}.

STEP 10

**¡Encontremos las funciones trigonométricas!** Tenemos csc⁡(θ)=4x\csc(\theta) = \frac{4}{x}, cot⁡(θ)=16−x2x\cot(\theta) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x} y cos⁡(θ)=16−x24\cos(\theta) = \frac{\sqrt{16-x^2}}{4}.

STEP 11

**¡Sustituyamos!** Nuestra integral se convierte en: 4(−ln⁡∣4x+16−x2x∣+16−x24)+C=−4ln⁡∣4+16−x2x∣+16−x2+C 4\left(-\ln\left|\frac{4}{x} + \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}\right| + \frac{\sqrt{16-x^2}}{4}\right) + C = -4\ln\left|\frac{4+\sqrt{16-x^2}}{x}\right| + \sqrt{16-x^2} + C

STEP 12

La solución a la integral es −4ln⁡∣4+16−x2x∣+16−x2+C-4\ln\left|\frac{4+\sqrt{16-x^2}}{x}\right| + \sqrt{16-x^2} + C.

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