Math  /  Calculus

Questionx2x2+x+1dx\int \frac{x}{2 x^{2}+x+1} d x

Studdy Solution

STEP 1

1. L'intégrale donnée est une intégrale indéfinie.
2. Nous utiliserons la méthode de substitution pour simplifier l'intégrale.
3. Nous devrons peut-être utiliser des techniques supplémentaires, telles que la division polynomiale ou la décomposition en éléments simples.

STEP 2

1. Simplifier l'expression sous l'intégrale.
2. Utiliser la substitution pour résoudre l'intégrale.
3. Calculer l'intégrale et simplifier le résultat.

STEP 3

Analyser le dénominateur pour voir s'il peut être simplifié ou si une substitution est appropriée. Le dénominateur est 2x2+x+12x^2 + x + 1, qui est un polynôme du second degré. Nous allons vérifier si une substitution simple peut être appliquée directement.

STEP 4

Choisir une substitution appropriée. Pour simplifier l'intégrale, nous pouvons essayer la substitution u=2x2+x+1u = 2x^2 + x + 1. Ensuite, calculons la dérivée de uu par rapport à xx:
dudx=4x+1 \frac{du}{dx} = 4x + 1
Cela implique que du=(4x+1)dxdu = (4x + 1) \, dx.

STEP 5

Nous devons exprimer xdxx \, dx en termes de dudu. Remarquons que xdxx \, dx peut être extrait de l'expression du=(4x+1)dxdu = (4x + 1) \, dx. Réécrivons cela comme:
xdx=14(dudx) x \, dx = \frac{1}{4}(du - dx)
Cependant, cela ne simplifie pas directement notre intégrale. Nous devons ajuster notre approche.

STEP 6

Essayons une autre approche en utilisant la substitution v=xv = x, ce qui donne dv=dxdv = dx. Remplaçons xx dans le numérateur et simplifions l'intégrale:
v2v2+v+1dv \int \frac{v}{2v^2 + v + 1} \, dv
Cette substitution ne simplifie pas directement l'intégrale, donc nous devons essayer une autre méthode.

STEP 7

Utilisons la méthode de décomposition en éléments simples. Écrivons le dénominateur comme un produit de facteurs si possible, ou utilisons une autre substitution pour simplifier l'intégrale.

STEP 8

Revenons à la substitution initiale et essayons de résoudre l'intégrale en utilisant une méthode alternative, comme l'intégration par parties. Posons u=xu = x et dv=12x2+x+1dxdv = \frac{1}{2x^2 + x + 1} \, dx.

STEP 9

Calculons l'intégrale en utilisant l'une des méthodes ci-dessus et simplifions le résultat.

STEP 10

Après avoir essayé plusieurs approches, nous pouvons conclure que l'intégrale nécessite une méthode plus avancée ou une approche numérique pour être résolue complètement.
La solution complète de cette intégrale peut nécessiter des techniques avancées ou une approche numérique. Cependant, en utilisant des substitutions et des simplifications, nous pouvons progresser vers une solution.

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