Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Questionyx=xyy′=??\begin{array}{l}y^{x}=x^{y} \\ y^{\prime}=? ?\end{array}

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات
1. لدينا المعادلة yx=xyy^x = x^y.
2. نريد إيجاد المشتقة y′y' بالنسبة لـ xx.
3. نفترض أن yy هو دالة في xx، أي y=y(x)y = y(x).

STEP 2

لنبدأ بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين في المعادلة yx=xyy^x = x^y لتسهيل عملية الاشتقاق.
ln⁡(yx)=ln⁡(xy)\ln(y^x) = \ln(x^y)

STEP 3

استخدم خاصية اللوغاريتمات ln⁡(ab)=bln⁡(a)\ln(a^b) = b \ln(a) لتبسيط المعادلة.
xln⁡(y)=yln⁡(x)x \ln(y) = y \ln(x)

STEP 4

الآن، لنقم باشتقاق الطرفين بالنسبة لـ xx باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة.
بالنسبة للطرف الأيسر:
ddx(xln⁡(y))=ln⁡(y)⋅ddx(x)+x⋅ddx(ln⁡(y))\frac{d}{dx}(x \ln(y)) = \ln(y) \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(y))
=ln⁡(y)+x⋅1y⋅y′= \ln(y) + x \cdot \frac{1}{y} \cdot y'

STEP 5

بالنسبة للطرف الأيمن:
ddx(yln⁡(x))=ln⁡(x)⋅ddx(y)+y⋅ddx(ln⁡(x))\frac{d}{dx}(y \ln(x)) = \ln(x) \cdot \frac{d}{dx}(y) + y \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x))
=ln⁡(x)⋅y′+y⋅1x= \ln(x) \cdot y' + y \cdot \frac{1}{x}

STEP 6

الآن، بعد الاشتقاق، نحصل على المعادلة التالية:
ln⁡(y)+xy⋅y′=ln⁡(x)⋅y′+yx\ln(y) + \frac{x}{y} \cdot y' = \ln(x) \cdot y' + \frac{y}{x}

STEP 7

لإيجاد y′y', نقوم بحل المعادلة بالنسبة لـ y′y'.
xy⋅y′−ln⁡(x)⋅y′=yx−ln⁡(y)\frac{x}{y} \cdot y' - \ln(x) \cdot y' = \frac{y}{x} - \ln(y)

STEP 8

نقوم بتجميع الحدود التي تحتوي على y′y' في طرف واحد:
y′(xy−ln⁡(x))=yx−ln⁡(y)y' \left(\frac{x}{y} - \ln(x)\right) = \frac{y}{x} - \ln(y)

STEP 9

نقوم بحل المعادلة بالنسبة لـ y′y':
y′=yx−ln⁡(y)xy−ln⁡(x)y' = \frac{\frac{y}{x} - \ln(y)}{\frac{x}{y} - \ln(x)}
هذه هي المشتقة المطلوبة y′y' بالنسبة لـ xx.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord