Question7. Calculate the value of the following limit: $$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{21}{\ln \left(n^{7}\right)}\right)^{\ln (10 n)}$$
ANS:

Studdy Solution
Zauważmy, że wyrażenie ma postać $\left(1 + \frac{a}{b}\right)^b$ z $a = 3$ i $b = \ln(n)$. Dla dużych $n$, możemy zastosować wzór na granicę:
$$\left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \rightarrow e^3$$
Jednakże, nasze wyrażenie to:
$$\left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(10n)} = \left( \left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \right)^{\frac{\ln(10n)}{\ln(n)}}$$
Zauważmy, że:
$$\frac{\ln(10n)}{\ln(n)} = \frac{\ln(10) + \ln(n)}{\ln(n)} = 1 + \frac{\ln(10)}{\ln(n)}$$
Dla dużych $n$, $\frac{\ln(10)}{\ln(n)} \rightarrow 0$, więc:
$$\left( \left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \right)^{1 + \frac{\ln(10)}{\ln(n)}} \rightarrow e^3 \cdot e^0 = e^3$$
Wartość granicy to:
$$\boxed{e^3}$$